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 on remplace généralement 



f p ar (D' 



cette somme sera remplacée elle-même par la suivante 



tandis que la somme alterne — A se changera en 



— (n — 1) = i, (mod. n). 



Donc , pour décider si dans la formule (5) on doit réduire le double signe au 

 signe + ou au signe — , il suffira de chercher la quantité en laquelle se 

 transforme le développement de P quand on y remplace chaque terme delà 



forme p' par (- J, et de voir si Cette quantité, divisée par 4> donne pour 



reste — 1 ou -f- i. Or, comme le développement de P se composera de 

 termes de la forme 



le signe qui précède p étant le produit des signes qui précèdent les 

 nombres i , 3, 5. . . , la quantité dont il s'agit sera la somme des expres- 

 sions de la forme 



le signe placé en dehors des parenthèses étant le produit des signes placés 

 au dedans. Elle sera donc équivalente, suivant le module n, à la somme des 

 expressions de la forme 



n — i 



(6) =fc[=bi±3=b5±...=fc(n — 2)] ~*~. . 



Ainsi , en particulier, elle sera équivalente, pour n = 3, à 



-,'— (— i)' = 2 =— i , (mod. 3); 

 pour re= 5, à 



(i -r-3)* + (— i — 3)' — (— i+3)' — (i— 3)' = 4=— i,(mod.5;. 



D'ailleurs si l'on suppose le nombre de lettres a, b, c. . , égal à m, la 

 somme des expressions de la forme 



( 7 ) =b(±a=i=£=fcc=fc.../Y 



