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étant développée suivant les puissances ascendantes de a, b, c...,ne 

 pourra, si le signe extérieur est le produit des signes intérieurs, renfermer 

 aucun terme dans lequel l'exposant de a, oudei, ou dee... s'éva- 

 nouisse, puisque le coefficient d'un semblable terme dans cette somme 

 serait évidemment 



2™-' 2 m — ' =0. 



Donc la somme des expressions (7) se réduira au produit de leur nombre 

 i m par le seul terme 



1. 2. 3. — m. abc. . . ; 



et, si l'on prend pour 



a, b, c, ... 

 les nombres 



1, 3, 5 ... im — 1, 

 cette somme aura pour valeur le produit 



2" (1.2. 3 ... m) 1 .3.5 ...(2m— 1) = 1.2.3.4 ... a/n. 

 Donc la somme des expressions (6) aura elle-même pour valeur le produit 



1.2.3 ... (n — 1) = — 1, (mod. h); 

 et P se transformera en une somme équivalente à — 1, si l'on y remplace 

 généralement p' par Q ; d'où il suit que l'équation (5) devra être réduite à 

 (8) . P = A. 



En d'autres termes , on aura 



(9)(p'-p")(p 3 -p")-[i''- t -p~ i — %) ]=p h +p k '+p h "-h...-p''-p^-p^-.. ., 



h, h', h",.. . étant les résidus, et k, k", k",.. . les non-résidus inférieurs 

 au module n. Comme on aura d'ailleurs 



(10) o = 1 + p* -f f + f 4. . . . + f + p v _|_ g + . . . , 

 on tirera de formules (9) et (10), combinées entre elles par voie d'addition, 



( 11 ) (p" - ?"') (P 3 - P' 3 ) ■ ■ ■ [p"** - r C "" a) J = » + y + y + a/j + . . ; 

 par conséquent 



(12) (p 1 — f-OCp 3 — P^ 3 ) — Cp n_a — p- ( °- ï} ]=i+p-f-p 4 + /5 9 -r-- + p ( ' ! - ,) '- 



