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Si d'ailleurs on nomme S la somme de ces racines primitives, c'est-à-dire, 

 si l'on pose 



(3) a = ô4-6<+6' , +.--+0" , ~', 



on aura évidemment i + s = o, ou, ce qui revient au même, 



(4) « = _ ï. 



» Concevons maintenant que le module p, divisé par 3, donne l'unité 

 pour reste , et posons 



(5) -=^= J - 

 La progression géométrique 



pourra être décomposée en trois autres, savoir 



? ? ? • • • j 

 et la somme S en trois parties correspondantes 



"o> S,, S a , 



respectivement déterminées par les équations 



(«, = «+!" + ô' 6 +. • .-+- fl" -4 



A - H- 6' 4 + fl" H-...+ " 

 •+ G" + ô<° +...+ 



(6) < s, = 6' 4- 6<\-f 0» +...+ 0< p -% 



( s, = ô<* + 8" + ô' 8 +• . .+ fl"— '. 



Cela posé, comme les divers résidus cubiques, inférieurs au module p, 

 seront équivalents, suivant ce module , aux divers termes de la progression 

 géométrique 



i, t 3 , t e ,... f-*, 



il est clair que â représentera la somme des puissances de fl, qui offri- 

 ront pour exposants ces résidus cubiques. Quant aux sommes s,, S,, on 

 les déduira évidemment de la somme S , en remplaçant la racine primitive 

 fl de l'équation (i) par la racine primitive fl' ou ô<\ Il y a plus; si à la 

 racine primitive fl on substitue successivement toutes les autres, la somme 



