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 des puissances de ô, qui offrent pour exposants les résidus cubiques infé- 

 rieurs au module p, pourra seulement acquérir trois valeurs distinctes qui 

 seront précisément 



Enfin , si l'on nomme S la somme des puissances de ô qui ont pour expo- 

 sants les cubes des nombres 



o, 1,2, 3,. . . p — i , 



et S,, S a , ce que devient S quand on y remplace successivement 6 par ô' 

 et par 9'" , on aura 



( 7 ) S = i + 3S , S, = i + 3s,, S, = i + 3§ 2 . 



En effet, les nombres 



I, 2, 3, . ... p — I, 



peuvent être censés représenter les diverses racines de l'équivalence 



xf— ' = i, ou x 3m = i, (mod. p) 



qui se décompose en plusieurs autres, savoir, 



(8) x 3 = i, x 3 = t s , x' = t s , . .. x 3 = f-*, (mod. p); 



et par conséquent trois d'entre eux vérifieront chacune des équivalences (8). 

 Donc si l'on pose 



(8) S = i + 0' + fl" + 8 3> + • • • + $f-?, 



on aura encore 



S„ = i + 3 (6 -f- ô< 3 + fi' 6 + • • • + â"- 4 ), 



ou, ce qui revient au même, 



S = J + 3s . 



On retrouve ainsi la première des formules (7), de laquelle on déduira la 

 seconde et la troisième en remplaçant 8 par 8' et par 6". 



» Il est bon d'observer que, si t 3m désigne un terme quelconque de 



la suite 



1, t 3 , t\ ... t'-f, 



Su. 



