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 le produit des différences entre ces trois racines, savoir, 



(s - S,) (S, - S,) (S, - s ) = 33 (« _ §,) (s, - s.) (s, _ $ o) , 



aura pour carré, d'après une règle connue, le binôme 



4(3/>) 3 — a 7 (A / >)' = a 7 ^(4/» — A'). 

 On aura donc 



(3a) 27 (S — S,)' (§, — ^)* (S. — S„)* = p" (4p — A*). 



D'autre part , si l'on pose 



(33) B = b — c , 

 l'équation (26) donnera 



(34) (s„ — S ,) (S, — S.) (S. — S )= — Bp; 

 et l'on tirera des formules (32), (34) 



(35) 4/>=A»-4-2 7 B\ 



Enfin les équations (3i), (33) , jointes aux formules (21), donneront 



(36) A = — n, B = ^=-"n, (mod.^). 



Donc, i° l'équation (35) pourra être vérifiée, comme l'a dit M. Jacobi, 

 par des nombres entiers =b A, de B, et la quantité A dont la valeur nu- 

 mérique sera inférieure à 



\/4/> - 27 = I v>* - (P - 8)' - 44, 

 par conséquent à \p, pourra être complètement déterminée, ainsi que la 

 quantitéB, inférieure elle-même, abstraction faite du signe, à j \/p, à plus 

 forte raison, à \p, par le moyen des formules (36); 2 si, dans la for- 

 mule (3o), on substitue la valeur de A choisie de manière à vérifier non- 

 seulement la formule (35), mais encore la condition (3 1), présentée sous 

 la forme 



A = — (p+i), (mod. 9), 



l'équation (3o) aura pour racines réelles les trois sommes 



Cette dernière conclusion s'accorde avec des remarques déjà faites par 

 M. Libri et par M. Lebesgue (voir le Journal de Mathématiques de M. Liou- 

 ville, février 1840). Nous ajouterons que, l'équation (28) pouvant êtreré- 



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