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de l'équation (3o), rangées dans leur ordre de grandeur, seront respecti- 

 vement 



S = -(3/>p£-r-i*A, S = -|«A, S = (3/0*É + |«A, 

 les valeurs de et, € étant données par les formules 



— _i_ A!_ JL _^_ _i_ 9- 8 A 6 



a — " T 3> 1.2 3 6 />= + t.2.3 3y etc.,... 



b — ' » \4 '3'p + 4.6.8 3«p' + )' 



et que les séries, dont les sommes représentent les seconds membres de 

 ces formules, seront toujours convergentes, eu égard à la condition 



A» < 4p. 



Pour obtenir l'ordre de grandeur tel que nous venons de l'indiquer, il suffit 

 d'observer que cet ordre reste le même pour toutes les valeurs de A qui 

 vérifient la condition A* < 4p, et que les trois racines de l'équation (.5o), 

 rangées d'après cet ordre, seront évidemment 



— \/3p, o, \/3p, 



si l'on remplace A par zéro. 



» Enfin , si l'on cherche le nombre des solutions que peut admettre 

 chacune des formules 



x + y = z, x+ j+ z = o, (mod. p), 



quand on prend pour x,jr, z des résidus cubiques positifs et inférieurs à p, 

 on conclura de la formule (ri) que ce nombre est 



o— i p-\-k — 8 

 3 9 



Si l'on assujétissait x,j, z à vérifier la condition 



x < j < z, 



le nombre des solutions deviendrait 



a« /> — i/>-f-A — 8 



ïTâTl "^ 3* 



dans le cas où 2 ne serait pas résidu cubique de p, et 



1 o — ip + A — 35 

 <Œr ?=* - — - 



1.2.3 2 2 3 4 



82. 



