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mes leçons, le théorème que je viens de rappeler est si fécond en résultats 

 utiles pour le progrès des sciences mathématiques, et il est d'ailleurs d'une 

 application si facile, qu'il y aurait de grands avantages à le faire passer 

 dans le calcul différentiel, et à débarrasser sa démonstration des signes d'in- 

 tégration qui ne paraissent pas devoir y entrer nécessairement. Ayant 

 cherché les moyens d'atteindre ce but, j'ai eu la satisfaction de reconnaître 

 qu'on pouvait effectivement y parvenir, à l'aide des principes établis dans 

 mon Calcul différentiel, et dans le Résumé des leçons que j'ai données, à 

 l'École Polytechnique, sur le calcul infinitésimal. En effet, à l'aide de 

 ces principes, on démontre aisément, comme on le verra dans le premier 

 paragraphe de ce Mémoire, diverses propositions parmi lesquelles se trouve 

 le théorème que je viens de citer; et l'on peut alors, non-seulement re- 

 connaître dans quels cas les fonctions sont développables en séries conver- 

 gentes, ordonnées suivant les puissances ascendantes des variables qu'elles 

 renferment, mais encore assigner des limites aux erreurs que l'on com- 

 met en négligeant, dans ces mêmes séries, les termes dont le rang sur- 

 passe un nombre donné. 



» Le second paragraphe du Mémoire se rapporte plus spécialement au 

 développement des fonctions implicites. Pour développer ces sortes de 

 fonctions, on a souvent fait usage de la méthode des coefficients indéter- 

 minés. Mais cette méthode, qui suppose l'existence d'un développement et 

 même sa forme déjà connues, ne peut servir à constater ni cette forme, 

 ni cette existence, et détermine seulement les coefficients que les déve- 

 loppements peuvent contenir, sans indiquer les valeurs entre lesquelles 

 les variables doivent se renfermer pour que les fonctions restent déve- 

 loppables. Il est clair, par ce motif, que beaucoup de démonstrations 

 admises autrefois sans contestation , doivent être regardées comme in- 

 suffisantes. Telle est, en particulier, la démonstration que M. Laplace a 

 donnée de la formule de Lagrange, et que Lagrange a insérée dans la 

 Théorie des fonctions analytiques. Des démonstrations plus rigoureuses 

 de la même formule sont celles où l'on commence par faire voir que la 

 multiplication de deux séries semblables à la série de Lagrange reproduit 

 une série de même forme, et celle que j'ai donnée en 1 83 1 dans un Mé- 

 moire sur la Mécanique céleste. Mais de ces deux démonstrations, la pre- 

 mière est assez longue, et la seconde exige l'emploi des intégrales définies. 

 Or, comme la formule de Lagrange et d'autres formules analogues ser- 

 vent à la solution d'un grand nombre de problèmes, j'ai pensé qu'il serait 

 utile d'en donner une démonstration très simple, et en quelque sorte 



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