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élémentaire. Tel est l'objet que je me suis proposé dans le second para- 

 graphe du Mémoire que j'ai l'honneur. de présenter à l'Académie. 



ANALYSÉ. 



$ I". Développement des fonctions en séries convergentes. Règle sur la convergence 

 de ces développements, et limites des restes. 



» La théorie du développement des fonctions en séries ordonnées sui- 

 vant les puissances ascendantes des variables , est une conséquence immé- 

 diate de deux théorèmes, dont la démonstration se déduit, comme on va 

 le voir, des principes établis dans mon Calcul différentiel et des pro- 

 priétés connues des racines de l'unité. 



» i* r Théorème. Soit 



x = re ry 



une variable imaginaire dont le module soit r et l'argument p. Soit encore 



<&(x) 



une fonction de la variable x qui reste finie et continue, ainsi que sa 

 dérivée <zs-'(.r), pour des valeurs du module r comprises entre certaines 



limites 



r = r , r = R. 



Enfin nommons n un nombre entier, susceptible de croître indéfiniment, 

 et prenons 



8 = e" 

 9 représentera une racine primitive de l'équation 



x" = î ; 



et si, en attribuant à r l'une quelconque des valeurs comprises entre les 

 limites r , R, on pose 



. v I;r '(^)4-fl g ^'(er) + S a ^^g , (è°r)+ ... + e—'g'(6— 'r) . 



\.À n ' 



J 1 s'évanouira sensiblement pour de très grandes valeurs de n; par consé- 

 quent la moyenne arithmétique entre les diverses valeurs du produit 



6 m 'ar'(G"r) 



