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Donc J 1 s'évanouira en même temps que chacun d'eux , c'est-à-dire en 



même temps que - ; ce qui démontre l'exactitude du théorème 1 ". 



» 2 e Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème i eJ , 

 si l'on fait , pour abréger , 



(4) n(r) = ™ (r) + WH+.-.+ ^ffl— r) 



c'est-à-dire, si l'on représente par n (r) la moyenne arithmétique entre 

 les diverses valeurs de 



correspondantes aux valeurs 



o, i , 2, 3,... « — i , 



du nombre m; alors, pour de grandes valeurs de n, la fonction n(r) 

 restera sensiblement invariable entre les limites r = r , / == R. 



» Démonstration. Supposons qu'à une valeur de /• comprise entre les 

 limites r , R, on attribue un accroissement p assez petit pour que r-f-p 

 soit encore compris entre ces limites. Les accroissements correspondants 



des divers termes de la suite . 



h 

 r&M, -sr(âr),... <sr(ô— 'r), 

 seront de la forme 



( ^(r+P) — •(■!■) = p|>'(r)+ êo ], 



1 W [fl(r+p)] —a-(flr) =p[Ô^'(ôr)+ êl ], 



; ; j etc 



{ ^[S"-'(r + p)]-.^(9»-V) = p[ô"-^'(8v-r)-f f „_,], 



t , «,,... s„_,, désignant des expressions imaginaires qui s'évanouiront 

 avec - ; et par suite la moyenne arithmétique entre ces mêmes accroisse- 

 ments ou la différence 



n(r+p) v»-n(r), 



se trouvera déterminée par la formule 

 (85 n(r+p)-n(r) = p[- (r) - t -^^^ n --+ e "" , - (6 °^+.], 



la valeur de s étant 



(7; s — j — . 



