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» Nota. Le second membre de la formule (4) n'est autre chose que la 

 moyenne arithmétique entre les diverses valeurs de la.fonction 



tff (x) 



qui correspondent à un même module r de la variable .r, et à des valeurs 



de - représentées par les diverses racines de l'unité du degré m, La limite vers 



laquelle converge cette moyenne arithmétique , tandis que le nombre n 

 croît indéfiniment, est ce qu'on pourrait appeler la valeur moyenne de la 

 fonction <sr (x), pour le module donné r de la variable x. Lorsqu'on ad- 

 met cette définition , le théorème 2 peut s'énoncer de la manière suivante: 



» Si la fonction tsr(x) et sa dérivée <ar' (x) restent finies H continues 

 pour un module r de x renfermé entre les limites r B , R , la valeur 

 moyenne de tv (x) correspondante au module r, supposé compris entre 

 les limites r , R, sera indépendante de ce module. 



» Corollaire 1". Les mêmes choses étant posées que dans les théorèmes 

 1 et 2, si la fonction rsr(x) et sa dérivée restent encore continues, pour 

 un module r de x renfermé entre les limites o, R, on aura sensiblement, 

 pour un semblable module et pour de grandes valeurs de n, 



(11) n(r) = n(o). 



» Corollaire 2 me . Les mêmes choses étant posées que dans le corollaire i cr , 

 si la fonction <&{x) s'évanouit avec x, on pourra en dire autant de la 

 fonction n(x), et par suite on aura sensiblement, pour de grandes va- 

 leurs de n, 



(12) n(r) == o. 



» Corollaire 3 me . Concevons maintenant que l'on pose 



(i3) «sr(z) = — z, 



f(z) désignant une fonction de z qui reste finie et continue avec sa 

 dérivée f'(z), pour un module r de z compris entre les limites o, R. 

 n(z), ainsi que <ar(z), s'évanouira pour une valeur nulle de z; et si, en 

 posant pour abréger 



