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 on nomme 



ce que devient n (z) quand on remplace <&{%) par <p(z) ou par 4 (z), alors, 

 en vertu de la formule (12), on aura sensiblement, pour de grand es valeurs 

 de n, et pour un module r de z, inférieur à R, 



(i5j O(r) —■*■(/■) = o. 



D'autre part, si l'on suppose le module r de z supérieur au module de x, 

 on aura 



= 1 + z~'x ■+- z~'x* -f- . . . , 



et par suite , eu égard aux propriétés bien connues des racines de l'unité, 



*(r) = f(aO. 



Donc alors la formule (i5) donnera sensiblement, pour de grandes valeurs 

 de n, 



(16) f(x) = *(r), 



ou, ce qui revient au même, 



(.7) f(-)=-:[^ f «+ fl 7^ f (^)+---+.^^ f (^)]- 



En vertu de cette dernière équation, qui devient rigoureuse quand n de- 

 vient infini, la fonction t(x) pourra être généralement représentée par 

 la valeur moyenne du produit 



(>») lê-ju 



correspondante au module rde la variable z, si la fonction f(z) et sa dé- 

 rivée f'(z) restent finies et continues pour ce module de z ou pour un 

 module plus petit. D'ailleurs la fraction 



z 



et par suite le produit (18), seront, pour un module de x inférieur au 

 module rde z, développables en séries convergentes ordonnées suivant les 

 puissances ascendantes de x. On pourra donc en dire autant du second 

 membre de la formule (17) et de la fonction i(x), quand le module de x 



C. R. 1840, l« Seimstre. (T. X, N» 16.; 88 



