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sera inférieur au plus petit des modules de z pour lesquels la fonction f (z) 

 cesse d'être finie et continue. On peut donc énoncer la proposition sui- 

 vante. 



» 3 rae Théorème. Si l'on attribue à la variable x un module inférieur au 

 plus petit de ceux pour lesquels une des deux fonctions ((x), (' (x) cesse 

 d'être finie et continue , la fonction i(x') pourra être représentée par la 

 valeur moyenne du produit 



correspondante à un module r de z, qui surpasse le module donné de x; 

 et sera par conséquent développable en série convergente, ordonnée sui- 

 vant les puissances ascendantes de la variable x. 



yiNota. Comme en supposant la fonction i{x) développable suivant les 

 puissances ascendantes de x , et de la forme 



(19) î(x) = a -f- a,x -+- a ± x' + ..., 



on tirera de l'équation (ig) et de ses dérivées relatives à x 



il est clair que le développement de t(x), déduit du théorème 3, ne diffé- 

 rera pas de celui que fournirait la formule de Taylor. On arrive encore aux 

 mêmes conclusions en observant que le produit 



z 



Z X 



éz f«, 



développé suivant les puissances ascendantes de x , donne pour dévelop- 

 pement la série 



H z ), *-%,, $,{&* etc 



Donc, dans le développement de t(x), le terme constant devra se réduire 

 à la valeur moyenne de f(zj, laquelle, en vertu du 2' théorème, est pré- 

 cisément f (o), le coefficient de a? à la valeur moyenne du rapport — , ou, 

 ce qui revient au même, du rapport 



f M - Ho) 



