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 et par conséquent à la valeur commune f'(o),que prennent ce rapport 

 et la fonction f'(z), pour z = o, etc. . . 



» Quant au reste qui devra compléter la série de Taylor, réduite à ses 

 n premiers termes, il se déduira encore facilement des principes que nous 

 venons d'établir. 



» En effet, puisqu'on aura 



- r «.a ~-1 — I —n 



- j _L f _1_ 1 l_ _J_ ± _1 



' " r. •*» » "-1 *»-> , 



Z — X z z* ■ ■ z"-' ' Z n ~' (Z — x)' 



et, par suite, 



^ T f(z)=ff Z ) + ff(z)+Jf(z)+...+^f( Z )+ ï ^-^ ) f( s ), 



il est clair que le reste dont il s'agit sera la valeur moyenne du produit 



* — (* — x) f (*)' 



considéré comme fonction de z, pour un module r de z supérieur au mo- 

 dule donné de x. Donc, si l'on nomme $. le plus grand des modules de 

 f(z) correspondants au module r de z, et X le module attribué à la va- 

 riable x, le reste de la série de Taylor aura pour module un nombre in- 

 férieur au produit 



r"—(r— X) ' 



par conséquent inférieur au reste de la progression géométrique que l'on 

 obtient en développant suivant les puissances ascendantes de x, le rap- 

 port 



rSL 



On peut donc énoncer encore la proposition suivante : 



» 4 e Théorème. Les mêmes cboses étant posées que dans le théorème 3, 

 si l'on arrête le développement de la fonction f (x) après le n"' terme, 

 le reste qui devra compléter le développement sera la valeur moyenne 

 du produit 



pour un module r de z supérieur au module donné de x. Si d'ailleurs 

 on nomme A le plus grand des modules de f (z) correspondants au mo- 



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