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et ne devienne point nulle ni infinie pour x = o. Parmi les racines de 

 l'équation (i), il en existera une qui s'évanouira en même temps que i 

 Or cette racine, si l'on fait croître le module de e par degrés insensibles, 

 variera elle-même insensiblement , ainsi que sa dérivée relative à s, en res- 

 tant fonction continue de la variable e, jusqu'à ce que cette variable ac- 

 quière une valeur pour laquelle deux racines de l'équation (i) devien- 

 nent égales, pourvu toutefois que dans l'intervalle la valeur de is-(x) r 

 correspondante à la racine dont il s'agit, ne cesse pas d'être continue. 

 Donc, si la fonction es- (a?) reste continue pour des valeurs quelconques 

 de x, celle des racines de l'équation (i) qui s'évanouit avec s sera déve- 

 loppable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes 

 de i, pour tout module de la variable s inférieur au plus petit de ceux 

 qui introduisent des racines égales dans l'équation (i), et rendent ces. 

 racines communes à l'équation (i) et à sa dérivée 



i = ttw'{pc), 



par conséquent, pour tout module de s inférieur au plus petit de ceux 

 qui répondent aux équations simultanées 



(2) i ==—— -^-' = <z<r'(x). 



v ' tr (x)' x v ' 



Ainsi, par exemple, la plus petite racine x de l'équation 



X = tcosx, 



sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances 

 ascendantes de g, pour tout module de t inférieur au plus petit de ceux 

 qui répondent aux équations simultanées 



x cos x 



€ ■= , et = — sin x , ou tang x = — x. 



cosx x ' ° 



Or ce plus petit module, qui correspond à la racine imaginaire 



x = 1,199678... \ / — 1 



de l'équation tang.r = — x, sera 



0,662742...;, 



