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 et par conséquent la plus petite racine de lequation 



X = 6COS.T 



sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances 

 ascendantes de <, pour tout module de g inférieur au nombre 0,662742... 

 On se trouve ainsi ramené immédiatement à un résultat auquel M. La- 

 place est parvenu par des calculs assez longs dans son Mémoire sur la 

 convergence de la série que fournit le développement du rayon vecteur 

 d'une planète suivant les puissances ascendantes de l'excentricité. 



» Il nous reste à indiquer une méthode très simple, à l'aide de laquelle 

 on peut souvent construire avec une grande facilité les développements 

 des fonctions implicites. Pour ne pas trop alonger ce Mémoire, nous nous 

 contenterons ici d'appliquer cette méthode au développement de la plus 

 petite racine a: de l'équation (1), ou d'une fonction de cette racine. 



» Nommons a celle des racines de l'équation (1) qui s'évanouit avec 6, 

 et que nous supposons être une racine simple. On aura identiquement 



(3) x — v&(x) = (x — et) U(x), 



U{x) désignant une fonction de x qui ne deviendra point nulle ni infinie 

 pour x = o. Or, de l'équation (3) , jointe à sa dérivée, on déduira la sui- 

 vante 



(A) 1 — t>v (x) __ 1 , 11' (x) 



que l'on obtiendrait immédiatement en prenant les dérivées logarithmiques 

 des deux membres de l'équation (3). On aura donc par suite 



(5) 



D'ailleurs, pour des valeurs de x suffisamment rapprochées de zéro, la 

 fonction 



n'(*) 

 n (x) 



sera généralement développable en une série convergente ordonnée suivant 

 les puissances ascendantes, entières et positives de x. Ainsi , en particulier, 

 si n (x) est une fonction entière de x, et si l'on nomme £, y. ... les ra- 

 cines de l'équation 



(6) n(*) = o, 



n' (x) _ 



__ 1 — vu' (x) 



X ttB (X) 



I 



n (x) - 



X a. 



