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dernières même étant, à ce qu'il semble, en nombre infini. Toutefois il 

 importe d'observer qu'en supposant le module de atrès petit, on pourra 

 développer e, ?%. . . et par suite les seconds membres de formules (i i) et 

 (5) , suivant les puissances ascendantes de a.. Alors le second membre de 

 la formule (5) , développé suivant les puissances ascendantes de x et de a, 

 offrira il est vrai, des puissances positives et des puissances négatives 

 de x, mais seulement des puissances positives de a; et le coefficient d'une 

 puissance quelconque de «, par exemple de a™, dans ce second membre, 

 sera la somme u m d'une série qui renfermera un nombre infini de puis- 

 sances positives de x, avec les seules puissances négatives 



i i 



D'autre part, eu vertu des principes établis dans le paragraphe précédent 



n' (x) 

 (5 e théorème), le facteur — ^- sera développable en une série convergente 



ordonnée suivant les puissances ascendantes, entières et positives, de x 

 et de a, tant que les modules de x et de a, ne dépasseront pas les limites 

 au-delà desquelles cette fonction cesse d'être continue; et le coefficient de« m , 

 dans le développement, sera la somme v m d'une série qui renfermera seu- 

 lement les puissances entières et positives de x. Donc, puisque deux 

 développements, ordonnés suivant les puissances ascendantes , entières et 

 positives , de et, ne peuvent devenir égaux sans qu'il y ait égalité entre les 

 coefficients des mêmes puissances, les deux coefficients de a m que nous 

 avons désignés par «„, v m , et qui représentent les sommes de deux séries 

 ordonnées suivant les puissances ascendantes de x , seront égaux; d'où il 

 résulte que , dans la première de ces deux séries , chacun des m premiers 

 termes, proportionnels à des puissances négatives de x, devra s'évanouir. 



Donc le terme proportionnel à —, en particulier, s'évanouira dans la série 



dont la somme u m sert de coefficient à a m , quel que soit d'ailleurs le 



nombre m; d'où il résulte que la somme des termes proportionnels à — 



s'évanouira elle-même, dans le développement du second membre de la 

 formule (5) suivant les puissances ascendantes de x et de a. Or cette 

 somme, en vertu des formules (g), (io), (i3), sera évidemment 



Y $ 



ê3 + — D,3*H — i_d; 33 + ..._«. 



1.2 1.2.3 



