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 On aura donc 

 (,4) ct = e3 + -±T> l3 * + -±- 3 T>>,a> + ..., 



la valeur de i devant être réduite à zéro, après les différenciations effectuées. 

 La formule (i4)> qui subsiste tant que a et sa dérivée relative à t restent fonc- 

 tions continues de t, est précisément la formule donnée par Lagrange pour 

 Je développement de et suivant les puissances ascendantes de s. Si l'on 

 égalait à zéro, dans le développement du second membre de la formule (5), 



non plus le coefficient de —, mais ceux de — 3 , de —, etc., ... on obtien- 

 drait immédiatement les formules données par Lagrange pour le dévelop- 

 pement de «*, a 3 , etc. , . . . suivant les puissances ascendantes de i. Enfin , 

 si l'on égalait les coefficients des puissances positives 



,r, x'. . . 



à ceux qui affectent les mêmes puissances dans le second membre de la 

 formule (9), on obtiendrait les valeurs des sommes 



g + " + • • • > gî ( + y + ■ • • > 



développées encore suivant les puissances ascendantes entières et posi- 

 tives de i. 



» Soit maintenant f(x) une fonction qui ne devienne pas infinie pour 

 x = o. Après avoir multiplié par le rapport 



f (g) - f(o) 



X 



les deux membres de la formule (5), on pourra, tant que la fonction f(x) 

 ne deviendra pas discontinue, développer le second membre suivant les 

 puissances ascendantes de x; et, comme, dans ce développement effectué à 

 l'aide des équations (10), (11), (i3) ou de formules analogues, le coeffi- 

 cient de — devra disparaître, on en conclura facilement 



(.5) f( a )-f(o)= e3 f'(,)-f- -iLD.O'f'O)] + -J- I D;[3'f'(0] + ..., 



la valeur de / devant être réduite à zéro après les différenciations effec- 

 tuées. On retrouve encore ici la formule donnée par Lagrange pour le déve- 

 loppement de f(a)- Il est bon d'observer que, dans cette formule, le coeffi- 



cient de—, déterminé par la méthode qu'on vient d'exposer, sera le 

 coefficient de — dans le développement du produit 



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