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 ces planètes; on peut toujours le supposer plus petit que l'unité. Enfin 

 S est une des fractions i,f,f, L'expression ci-dessus est donc irra- 

 tionnelle, et on peut seulement ia réduire en une série indéfinie. Dans 

 la théorie des planètes, cette série doit procéder suivant les cosinus des 

 multiples de l'angle Q. Le coefficient du terme qui renferme le cosinus de iô, 

 et qu'on dénote par ffl est une fonction de et : on a besoin de calculer sa 

 valeur ainsi que celle de ses dérivées par rapport à a. considéré comme 

 variable. 



» On peut y parvenir de plusieurs manières, au moyen d'intégrales dé- 

 finies simples , ou en réduisant la valeur de bi' ] en une série procédant 

 suivant les puissances de a. En différentiant cette série par rapport à a plu- 

 sieurs fois de suite, on forme d'autres séries pour le calcul des dérivées. 

 Toutes ces séries sont convergentes, et si leurs termes décroissaient assez 

 rapidement, elles seraient aisément réductibles en nombres; mais cette 

 condition est loin d'être satisfaite pour les séries dont dépendent les dé- 

 rivées. Les différentiations successives font que les coefficients des puis- 

 sances de a vont en grandissant énormément, et le calcul direct devient 

 impossible. 



» Pour remédier à cet inconvénient, on calcule par la série citée, ou par 

 les fonctions elliptiques, les deux premiers coefficients seulement Uf* et £<' J . 

 On en déduit ensuite successivement tous les autres par des équations 

 particulières aux différences finies. Les valeurs numériques des coefficients 

 du développement du radical (i -j- x* — ici cas ô P ' se trouvent effective- 

 ment dans divers ouvrages, où elles ont été calculées par la marche que 

 nous venons de rappeler, pour les différentes valeurs de et qui conviennent 

 aux théories des planètes, et il serait naturel de les y emprunter comme 

 nombres fondamentaux devant servir de base aux calculs ultérieurs. C'est 

 ce que j'avais été conduit à faire dans un travail sur les inégalités sécu- 

 laires, que je publierai prochainement. Mais toutefois je voulus soumettre 

 les nombres que j'adoptais à quelques épreuves, et j'eus le regret de me 

 convaincre que dans leur détermination il s'était glissé de graves erreurs 

 qui me mettaient dans l'obligation de la reprendre en entier. 



» Une partie de ces erreurs doit être attribuée au mode même de cal- 

 cul. On sait que ces déterminations successives d'une série de quantités 

 ne doivent être employées qu'avec réserve, et lorsqu'on s'est assuré si 

 l'erreur qu'on commet nécessairement à chaque opération ne va pas en 

 s' élevant successivement au-dessus des unités qu'on tient à conserver. Il 

 n'est permis de se dispenser de cette discussion préliminaire que lorsqu'on 



