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 a prouvé dans une suite de Mémoires qu'on pouvait se borner à intégrer 

 une seule des deux équations aux différences partielles données par 

 M. Hamilton. Toutefois , malgré cette importante remarque ajoutée aux 

 théorèmes de M. Hamilton , et tout le parti que M. Jacobi a su en tirer, 

 je persiste à croire que, pour l'intégration d'un système d'équations dif- 

 férentielles, une des méthodes les plus générales et les plus simples est 

 celle qui se trouve exposée dans le Mémoire de 1 835 déjà cité. Les avan- 

 tages qu'elle me paraît offrir sont ceux que je vais indiquer en peu de mots. 

 » L'équation aux différences partielles que je nomme l'équation carac- 

 téristique n'est pas seulement vérifiée par une fonction particulière des 

 variables, par exemple, par celle que M. Hamilton nomme la fonction 

 caractéristique: mais, comme je l'ai déjà dit, elle peut servir à déterminer 

 en fonction de la variable indépendante une fonction quelconque des 

 variables principales. De plus l'équation caractéristique a sur les équations 

 aux différences partielles de M. Hamilton le grand avantage d'être linéaire, 

 ce qui permet non-seulement de développer immédiatement son intégrale 

 en une série qui reste convergente tant que le module de l'accroissement 

 attribué à la variable indépendante ne dépasse pas certaines limites, mais 

 encore de rendre utiles pour l'intégration d'un système quelconque d'équa- 

 tions différentielles tous les théorèmes relatifs à l'intégration des équations 

 linéaires. 



« Parmi ces théorèmes il en est un surtout qui se prête à de nombreuses 

 applications, et qu'il me paraît utile d'énoncer ici dans toute sa généralité. 

 On sait qu'une équation différentielle ou aux différences partielles à coeffi- 

 cients constants étant intégrée, l'intégration peut être étendue au cas 

 même où l'on introduit dans l'équation un second membre qui soit fonc- 

 tion des variables indépendantes; et j'ai prouvé dans le 19 e cahier du 

 Journal de L'Ecole Polytechnique et dans les Exercices de Mathématiques, 

 qu'alors le terme ajouté à l'intégrale diffère des autres par la forme en 

 ce seul point qu'il renferme une intégration de plus , cette nouvelle in- 

 tégration étant, dans les questions de mécanique, effectuée par rapport au 

 temps. D'ailleurs, si l'on compare la valeur que prend ce nouveau terme 

 dans le cas général à celle qu'il obtiendrait si dans le second membre de 

 l'équation proposée le temps était remplacé par une constante arbitraire, on 

 obtiendra une règle donnée par M. Duhamel. On peut aussi comparer di- 

 rectement l'intégrale générale relative au cas où il existe un second membre, 

 à l'intégrale générale relative au cas où ce second membre disparaît, et alors 

 on obtient encore une règle fort simple suivant laquelle la seconde intégrale 



