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 se déduit de la première à l'aide d'une seule intégration relative à une va- 

 riable qui remplace le temps. Or ce qu'il importe de remarquer, c'est que 

 ces règles s'étendent au cas même où il s'agit d'une équation linéaire non 

 à coefficients constants, mais à coefficients quelconques: et fournissent en 

 conséquence un moyen très simple de développer en séries les intégrales 

 générales d'un système d'équations différentielles, quand on connaît des 

 valeurs approchées de ces intégrales. 



» Concevons, pour fixer les idées, que les équations différentielles données 

 soient: celles de la Mécanique céleste. Alors la variable principale de l'é- 

 quation caractéristique pourra être exprimée en termes finis, quand on 

 conservera seulement, dans les équations différentielles, les termes desquels 

 dépendent les mouvements elliptiques des planètes et de leurs satellites. C'est 

 en cela que consiste la première approximation. Or, d'après ce qu'on a 

 dit tout-à-l'heure, si, en cessant de négliger ces mêmes termes, on Veut 

 obtenir successivement une seconde, une troisième approximation, etc.,... 

 la seconde partie de chaque variable principale, ou celle qui dépend de la 

 seconde approximation, pourra être déduite immédiatement de la première 

 à l'aide d'une seule intégration effectuée par rapport à une variable auxiliaire 

 qui remplacera le temps; et par conséquent cette seconde partie pourra 

 être représentée par une intégrale définie simple et unique. Pareillement 

 la troisième partie de la variable principale, c'est-à-dire, la partie qui dé- 

 pendra de la troisième approximation, pourra être représentée par une 

 seule intégrale définie double, etc. . . . 



» Ainsi, dans la Mécanique céleste, chacune des variables principales, ou 

 même une fonction quelconque de ces variables, se composera de plusieurs 

 parties correspondantes aux approximations du premier, du second, du 

 troisième ordre,. . . et la première partie s'exprimera toujours en termes 

 finis, la seconde à l'aide d'une intégrale définie simple. . . . 



» Il y a plus, lorsque le temps n'est pas explicitement contenu dans les 

 équations différentielles données, comme il arrive dans la Mécanique 

 céleste, les intégrales définies qu'on obtient sont susceptibles de trans- 

 formations remarquables qui peuvent devenir très utiles, comme nous le 

 montrerons par des exemples, et peuvent même très souvent dispenser 

 d'effectuer les intégrations relatives au temps. 



» Enfin, au lieu de prendre pour valeurs approchées des variables 

 principales celles qui correspondent au mouvement elliptique, on peut 

 prendre pour valeurs approchées celles qui correspondent au mouvement 

 circulaire, et alors on obtient immédiatement de la manière la plus directe 



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