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 différentielle dF étant représentée par 



d¥ = F' (t) dt + F' {x) dx : + F' (x') dx[ + etc. , 

 et sa variation cfF étant, par conséquent, 



<?¥ = F'f> J <&c y + F' (x\) Sx\ + etc. ; 

 les équations différentielles dont il s'agit sont toutes de la forme 



, \ dF' (x') _,, . dF' (x'„) „,, s 



on désigne ici par dF' (x'J, etc. , les différentielles complètes de F' (x'), etc., 

 relatives à dt. Ces équations diffèrent de celles de la Mécanique analytique 

 en ce que la fonction Z de Lagrange provient d'une transformation de 

 la fonction particulière 



Z = {2m {x" + y* ■+■ z") + V, 



V étant une fonction des seules coordonnées 



x ■> Xt z i x ,> X ,i z , etc. , 



qui ne contient pas leurs dérivées. Dans notre fonction F, les dérivées 

 entrent avec les variables t, x t ,x n , x m , etc., d'une manière quelconque: 

 aussi peut-il arriver que plusieurs des équations différentielles proposées 

 soient seulement du premier ordre, et c'est ce qui a lieu , par exemple, 

 quand la fonction 



F =?? x x\ + xx' m + etc. -f- Q , 



Q étant une fonction de t et de x, x-j, x m , etc. : alors on retrouve une classe 

 d'équations élégantes, particulièrement considérées par M. Cauchy, et dont 

 il s'est servi pour exposer de belles recherches sur la variation des para- 

 mètres arbitraires. Elles ont d'importantes propriétés, et conduisent à 

 l'intégration d'une classe d'équations à dérivées partielles. 



» On prouve qu'alors même que les variables x ;, x ti . . . . seraient liées par 

 des équations de condition L c,) =o, L (a) = o, etc. , ce qui modifierait la 



