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indépendantes; et si, alors, comme il arrive d'ordinaire, le coefficient de 

 la plus haute puissance de D,, dans l'équation caractéristique, se réduit à 

 l'unité, la fonction principale se trouvera complètement déterminée par 

 la double condition de vérifier l'équation caractéristique dont l'ordre sera 

 un certain nombre entier ra, et de s'évanouir, pour une valeur donnée, par 

 exemple, pour une valeur nulle du temps, avec ses dérivées relatives au 

 temps et d'un ordre inférieur à n — i. Quant à la dérivée de l'ordre n — i, 

 elle devra se réduire, pour une valeur nulle de la variable indépendante t, 

 soit à une constante donnée, soit à une fonction donnée des autres va- 

 riables indépendantes, suivant qu'il s'agira d'intégrer des équations diffé- 

 rentielles linéaires, ou des équations linéaires aux dérivées partielles. 



» Pour évaluer la fonction principale telle que je viens de la définir, j'ai 

 eu recours dans les Exercices d'analyse à la formule de Fourier, ou plutôt 

 à une formule du même genre que j'ai substituée à la première, et fait 

 servir à l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles dans 

 le xix e cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique. Lorsque les équations 

 données se rapportent à un problème de physique ou de mécanique, elles 

 renferment en général, avec le temps t, trois autres variables indépen- 

 dantes, qui peuvent être censées représenter des coordonnées rectangulaires; 

 et la fonction principale, calculée comme je viens de le dire, se trouve 

 représentée par une intégrale définie sextuple. Pour reconnaître les lois 

 des phénomènes, on est obligé de faire subir à cette intégrale sextuple 

 diverses réductions. Parmi ces réductions on doit particulièrement remar- 

 quer celles qui se rapportent au cas où l'équation caractéristique est 

 homogène. Alors, comme je l'ai prouvé en i83o, l'intégrale sextuple est ' 

 généralement réductible à une intégrale quadruple. Elle sera même , comme 

 je viens de le montrer dans le précédent Mémoire , réductible à une inté- 

 grale double, si la valeur initiale de la fonction principale prend certaines 

 formes particulières , si , par exemple , elle dépend uniquement de la dis- 

 tance d'un point variable à l'origine des coordonnées. 



«L'importance des réductions que je viens de rappeler m'a engagé à 

 rechercher s'il ne serait pas possible d'obtenir directement les formules 

 réduites. J'ai été assez heureux pour y parvenir. On verra dans ce nouveau 

 Mémoire qu'en se servant du calcul des résidus, on peut non-seulement 

 obtenir avec une grande facilité la fonction principale correspondante à 

 une équation différentielle caractéristique, mais encore passer de cette 

 fonction principale à celle qui vérifie une équation caractéristique aux 

 dérivées partielles , homogène ou non homogène , et en particulier, à 



