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 les valeurs de u, v , w, ç étant 



(4) u = cosp, p = sin /> cos <jr , w == siti p sm q , 



(5) ? = w^c + fj" 4- wz. 

 Donc la valeur générale de D," -1 <zs- sera 



(6) D — <sr = — D, / / (L ,;,, ,-Z~ sm P "P " c h 



et il est aisé de s'assurer que cette valeur générale remplit, comme cela 

 devait être, la condition de se réduire à n (r) pour une valeur nulle de t. 

 » Supposons maintenant que la valeur initiale de D,° — '«sr, représentée 

 par n(r), n'ait de valeur sensible que dans le voisinage de l'origine des 

 coordonnées, en sorte qn'elle s'évanouisse constamment quand la valeur 

 numérique de r n'est pas très-petite. L'intégrale double qui, en vertu de la 

 formule (6), représente, au bout du temps t, la valeur de D," -1 <ût, et même 

 celle qui représentera la valeur de D," -3 ^, se réduiront évidemment à zéro, 

 si les valeurs de x,y, z sont sensiblement différentes de celles qui permet- 

 tent de vérifier l'équation 



(7) ç-\-ù)tz=Q 



ou 



(8) ux -+- vy -f- wz -f- ot= o. 



Or cette dernière équation représente un plan dont la position varie dans 

 l'espace avec les valeurs des coefficients w, v, w; et la surface, quetouche ce 

 plan dans toutes les positions qu'il peut acquérir au bout du temps t , est 

 précisément celle que nous avons nommée surface des ondes. On peut 

 donc énoncer la proposition suivante :- 



i er Théorème. Si le phénomène qui dépend de la valeur de D," — ' tx , et 

 paraît ou disparaît avec elle, n'est primitivement sensible que dans un 

 espace infiniment petit , qui renferme l'origine des coordonnées; il ne 

 sera sensible au bout du temps t que dans l'intérieur de la surface des, 

 ondes. 



i> Si l'espace, dans lequel le même phénomène était primitivement sen- 

 sible, cessait d'être infiniment petit, et se trouvait renfermé dans une cer- 



