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CORRESPONDANCE . 



théorie des nombres. — Note sur une propriété des nombres premiers, 

 et sur la détermination des nombres associés d'Euler; par M. J. Binet. 



« On sait que le quotient 



1 +2.3.4 (/> — a)(p— i) 



P 



est un nombre entier, dans le seul cas où p est un nombre premier. Ce 

 théorème élégant, découvert par Wilson, a été pour la première fois dé- 

 montré par Lagrange;il a établi, en outre, comme conséquence, que le 

 quotient 



îC<-OV*£,S =!)•] 



est un entier, quand p est premier. 



» Euler a nommé associé d'un nombre a </> le multiplicateur x < p, 

 et tel que le produit ax — i soit divisible par p , en sorte que l'on ail 



ax = i + pj: 



le théorème de Wilson donne la solution algébrique la plus directe du pro- 

 blème des nombres associés ; car en posant 



x — p + Ap — 2.3.4 O— X(a +«)■••(/>— 0; 



si l'on prend A égal à la partie entière du quotient de la division par p de 



2.3.4 (a— 1) X (a + j)...(p — 1), 



la valeur de x sera moindre que p, et satisfera évidemment à la condition 

 requise. D'autres solutions sont faciles à déduire du théorème de Fermât 

 sur les résidus des puissances; mais l'usage arithmétique de ces proposi- 

 tions fondamentales de la science des nombres, devient impraticable dès 

 que p est un peu grand , vu la longueur des calculs. 



« Une propriété des nombres premiers , que je crois nouvelle , va don- 

 ner de cette question une solution simple et numériquement applicable. 

 Voici ce théorème : a étant un des entiers p — 1, p — 2, ...,3,2, moin- 



