{ 212 ) 



» On a supposé, dans 'les opérations préréderit es, chaque division faite 

 selon le mode habituel de 'l'arithmétique , qui donne un reste positif a, 

 ou a % , ou etc. ; mais la division peut être exécutée de manière que le reste 

 soit négatif, en accroissant d'nwe unité le quotient de l'opération ordi- 

 naire. C'est ce que Lagrange nomme la division faite en dehors, ou en 

 excès pour le quotient. Afin de (réduire; autant que possible les 'calculs, on 

 devra exécuter les 'devisions >qui donnent les quotients q, y,, ç 3 ,. . ., de 

 telle sorte que la valeur numérique du reste soit au-dessous de la moitié 

 du diviseur em ployé. dans Topépalicm.,' en admettant pour cela des restes 

 positifs ou négatifs, q, ç,> ~q t ,.^ .,'Ç„_v seront encore ici des quotients po- 

 sitifs fournis par les divisions ide./J :dans ces opérations, lesrestes 'de- 

 venus diviseurs, seront employée ipaur leur ivaleur numérique. 'Soit 'm le 

 nombre des divisions ordinaires ayant produit des restes positifs, l'é- 

 quation (i) sera alors. remplacée par la .suivante : 



(2) a,?,?,?,- ■ .<?■,-, + (— h) m+ ' = lP M. 



Si l'on prend p=%iy, a = i53,, le tahleau qui présente les trois di- 

 visions effectuées, est 



i53 



58 



les quotients de 211 "divisé par no"3 , iparo~8,, par 21 sont r, 4i lo ; deux 

 divisions ayant donné des restes positifs 58, 1 , le théorème annonce que 



t53. 1 .ij. 10 — f- ( — i) a+1 =-6120 — 1 



doit être divisible par 21 1 ; on a en effet •'6rig=-2M X 2g. 



» On s'assure aisément que cette manière d'opérer les divisions réduira leur 



nombre n au-dessous de . I ; et puisque le logarithme tabulaire de 2 



est o,3oio3oo, on aura n <^log«. Si a est moindre, que 1000, on. n'aura 



jamais 10 divisions à exécuter quel que soit p. n < =-2- est aussi la limite 



du nombre auquel on peutréduire'les divisions à effectuer, pour recher- 

 cher si p et a ont un diviseur commun, en employant des résidus négatifs 

 dans les divisions. 



On voit -sur-le-champ que l'équation (.2) fournit une méthode simple 



