( i tf ), 



pour résoudre en nombres entiers, l'équation du problème des nombres 

 associés ax — pj = i , où p est premier , ovr on pourra poser, comme 

 solution de l'équation 



x==yq, q,.... <7„_, (—.) m - 



Pour obtenir une valeur de x <C p, on devra, dans la formation du pro- 

 duit qq,q, . ■ </„_,, rejeter successivement tout multiple de p, et n'em- 

 ployer d'un produit q, q k que le résidu de sa division par p, opération 

 que l'on peut rendre très-facile. Le dernier résidu r sera la valeur de x , si 

 (- — \) m r est positif; et dans l'autre cas c'est p-j-Q — i)"'r qui sera l'associé 

 de a. La résolution en nombres entiers de l'équation Ax — Ry = i quand 

 A et B sont composés se ramène aisément au cas que nous venons de trai- 

 ter. Cette congruence, qui est la base d'une partie de la science des nom- 

 bres entiers, n'a pas cessé d'attirer l'attention des géomètres. Elle a été 

 l'objet, dans ces derniers temps, de recherches importantes de M. Cauchy. 

 (Comptes rendus, t. XII, p. 8i3.) 



» Nous avons supposé, dans ce qui précède, que p est premier: un 

 nombre composé P, soumis au même système d'opérations qui amènent 

 les quotients q, q,, q, ...., pourra cependant donner lieu à une équation 

 analogue 



(.'•) a Q Q, Q, .. Q„_, -f- (- ,/»-' == P. M: 



pour cela il est nécessaire que chacun des quotients Q, Q, , Q,, . . . ainsi 

 que a , se trouvent premiers à P. C'est ce qui aura lieu si P — p*, en suppo- 

 sant toujours/? premier supérieur à a, h étant un exposant entier ; l'équation 

 (3) sera également vérifiée en prenant P == p h p*> p**. . ., s'\ p est moindre 

 que les autres nombres premiers p,, p,, .., et que a soit •< p. Mais ce ne 

 sera néamoins que pour certains entiers a < P et sous des conditions par- 

 ticulières, que la propriété qui convient à tous les nombres premiers 

 s'étendra à des entiers composés : elle n'oflre donc pas, comme la formule de 

 Wilson, un caractère exclusif du nombre premier. Toutefois elle peut avoir 

 d'utiles applications; nous en avons déjà indiqué, qui seront développées 

 dans un Mémoire où nous donnerons l'analyse qui conduit aux résultats que 

 nous ne pouvons énoncer que succinctement dans cette Note : les démons- 

 trations reposent sur la considération des quotients q, q,,q„. . . provenant 

 soit d'un nombre premier, soit d'un entier composé P.. » 



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