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calcul des résidus. — Rapport sur un Mémoire de M. Oltramare , 

 relatif au calcul des résidus. 



(Commissaires, MM. C. S.turm, Canchy rapporteur.) 



« L'Académie nous a chargés, M. Sturm et moi, de lui rendre compte 

 d'un Mémoire présenté par M. Oltramare, et qui a pour titre: Recherches 

 sur le calcul des résidus. On sait que les principes de ce nouveau calcul , 

 développés par l'un de nous en 1826, ont été, depuis cette époque, ap- 

 pliqués non-seulement à l'intégration des équations linéaires et à la solu- 

 tion des problèmes de physique mathématique , mais encore à la détermi- 

 nation des intégrales définies et à diverses questions d'analyse, soit par 

 l'auteur lui-même, soit par d'autres géomètres, parmi lesquels on doit 

 distinguer MM. Tortolini, Richelot, Ostrogradsky et Bouniakowski. Les 

 recherches de M. Oltramare sont principalement relatives aux propriétés 

 dont jouissent, dans le calcul des résidus, deux fonctions inverses l'une de 

 l'autre, c'est-à-dire deux variables dont chacune est déterminée en fonc- 

 tion de l'autre par une équation algébrique ou même transcendante. Parmi 

 les théorèmes qu'établit M. Oltramare, nous en citerons d'abord un qui se 

 rapporte au cas où l'équation donnée est algébrique, et qui se trouve 

 énoncé dans les termes suivants : 



» Si <p(z) est une fonction quelconque de la variable z, uniforme ou mul- 

 tiforme, donnée par une équation algébrique , et qui, pour des valeurs infi- 

 nies réelles ou imaginaires de z, conserve une valeur finie , le résidu inté- 

 gral de la somme des valeurs de cette fonction sera précisément égal au 

 résidu intégral de la somme des valeurs de sa fonction inverse. M. Oltra- 

 mare observe avec raison que le théorème s'étend au cas même où l'on 

 remplacerait la fonction inverse de <p(z) par ce qu'il nomme la fonction 

 inverse de seconde espèce , c'est-à-dire, pour parler exactement, par la fonc- 

 tion inverse de la somme des valeurs de <p(z). 



» La démonstration que donne M. Oltramare du théorème énoncé, se 

 déduit rigoureusement de la règle établie pour la détermination du résidu 

 intégral d'une fonction à la page 1 34 du premier volume des Exercices de 

 Mathématiques. On pourrait même simplifier celte démonstration, comme 

 nous allons le faire voir. 



» Considérons une équation algébrique entre œ et y, dont le premier 

 membre soit une fonction entière du degré m par rapport à as, du degré 

 n par rapport à j, et du degré m-\-n par rapport au système des deux 



