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 raux sur lesquels s'appuie la nouvelle méthode. D'autres articles en of- 

 friront l'application au calcul des mouvements des corps célestes. 



» Le présent Mémoire est divisé en deux paragraphes. 



» Le premier paragraphe est relatif à certaines propriétés des fonctions 

 entières et réelles des sinus et des cosinus d'un même angle. Il est aisé de 

 voir qu'une semblable fonction peut toujours être transformée en une fonc- 

 tion rationnelle d'une seule variable, savoir, de la tangente trîgonomé- 

 trique de la moitié de cet angle. J'en conclus que si, après avoir égalé à 

 zéro une semblable fonction, on résout l'équation ainsi formée ', par rap- 

 port à l'exponentielle trigonométrique dont l'argument est l'angle ci-dessus 

 mentionné, on obtiendra des racines qui, prises deux à deux, offriront 

 pour modules deux nombres inverses l'un de l'autre. D'ailleurs des for- 

 mules, que j'ai données dans les Exercices de Mathématiques, fournissent 

 divers moyens de décomposer l'équation dont il s'agit en deux autres 

 qui offrent, la première toutes les racines dont les modules sont infé- 

 rieurs à l'unité, la seconde toutes les racines dont les modules surpassent 

 l'unité. 



» Le deuxième paragraphe est relatif au calcul du terme général, dans 

 le développement d'une fonction en série de termes proportionnels aux 

 diverses puissances entières, positives, nulle, ou négatives, d'une exponen- 

 tielle trigonométrique. On prouve aisément que le coefficient du terme gé- 

 néral peut être représenté par une intégrale relative à l'angle qui sert d'ar- 

 gument à l'exponentielle, la différence entre les valeurs extrêmes de cet 

 angle étant la circonférence même. Considérons, en particulier, le cas où 

 cette intégrale représente le coefficient de la n ,eme puissance de l'exponen- 

 tielle trigonométrique, la valeur numérique de n étant un nombre très-con- 

 sidérable; et supposons d'ailleurs que la fonction donnée offre pour facteur 

 une puissance négative, entière ou fractionnaire d'une fonction réelle et 

 entière du sinus et du cosinus de l'argument. Si l'équation auxiliaire que 

 l'on obtiendra en égalant cette fonction à zéro est résolue par rapport à 

 l'exponentielle trigonométrique, on pourra, sous certaines conditions que 

 le calcul indique (*), déduire de cette résolution la valeur de l'intégrale 

 exprimée à l'aide d'une série très-convergente; et même, pour obtenir le 



(*) Les conditions dont il s'agit sont que les modules de toutes les racines diffèrent 

 de l'unité; que, parmi les modules supérieurs à l'unité, le plus petit surpasse l/î ; 

 enfin que le double de celui-ci soit inférieur à chacun des suivants, diminué de 

 l'unité. 



