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théorèmes, que M. Gauchy vient d'imprimer le premier. Je suis bien aise 

 de trouver une occasion d'en faire usage. 



» Soit M un point de l'intersection de deux nappes de la surface caracté- 

 ristique; soit M T la tangente menée en ce point à la courbe d'intersection , 

 en général, à double courbure; soient MTP, MTP' les deux plans tangents 

 respectivement aux deux nappes de la surface ; soit O le centre. Si l'on 

 abaisse du point O les perpendiculaires O P, OP ' sur les deux plans tangents, 

 et qu'on prolonge ces perpendiculaires jusqu'en des points Q, Q', tels que 

 les longueurs OQ, OQ' soient réciproques aux longueurs OP, OP'; on aura 

 deux points Q et Q' de la surface des ondes. Soit mené par MT un plan 

 MTP' intermédiaire entre les plans MTP, MTP'; si l'on abaisse sur ce 

 plan la perpendiculaire O P* et que l'on prenne OQ" réciproque à OP", on 

 aura un point Q" de la limite singulière. La ligne OP" sera dans le plan 

 POP', et le point Q" sera sur la ligne droite QQ'; donc la droite QQ' fera 

 partie de la surface limite singulière. 



» Remarquons d'abord que cette droite est tangente en Q et Q' à la sur- 

 face des ondes; car, si l'on prenait un plan perpendiculaire au plan POP' et 

 tangent en un point très-voisin du point M à l'une des régions intérieures 

 de la nappe touchée par le plan MTP, on pourrait construire un point Q'" 

 très- voisin du point Q, et la ligne QQ" convergerait vers la ligne Q Q', quand 

 on ferait converger le point de contact vers le point M, et par suite, le 

 point P'" vers le point P. Il est aisé de s'en assurer. Donc la droite QQ' 

 est dans le plan tangent en Q. Elle est de même dans le plan tangent en Q'. 

 » D'une autre part, à cause de la réciprocité entre la surface caractéris- 

 tique et la surface de l'onde, le plan tangent en Q est perpendiculaire au 

 rayon vecteur OM, prolongé s'il est nécessaire. Il en est de même du plan 

 tangent en Q'; donc ces deux plans coïncident (i). Donc le lieu des droites 

 telles que QQ' est bien la surface développable enveloppe du plan tangent 

 aux portions saillantes des nappes rentrantes de la surface des ondes. 



» Donc la limite donnée par M. Cauchy est un corollaire immédiat de 

 celle que j'ai donnée dans mon dernier Mémoire. 



» Je ne m'arrêterai pas à la considération de quelques particularités qui 

 ne sauraient infirmer la conclusion précédente. » 



(i) On peut abréger: le plau tangent en Qet le plan tangent en Q', perpendiculaires à la 

 même droite OM, doivent en outre la couper au même point, à cause de la réciprocité 

 des surfaces; donc, etc. P.-H. B. 



