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analyse mathématique. — Note sur une nouvelle méthode pour trouver le 

 plus grand commun diviseur des nombres entiers , ou des poljnomes 

 algébriques , et sur l'application de cette méthode aux congruences du 

 premier degré; par M. J. Binet. 



« Le système d'opérations régulières qui m'a conduit au théorème sur 

 les nombres premiers, que j'ai eu l'honneur de communiquer, il y a 

 quinze jours, à l'Académie, fournit des relations remarquables concernant 

 la résolution des congruences du premier degré. Il conduit aussi à une mé- 

 thode pour trouver le plus grand diviseur de deux nombres entiers; elle 

 procède d'une manière différente de la méthode ingénieuse qu'Euclide 

 nous a transmise. En appelant l'attention des analystes sur ce procédé , 

 ce ne peut être dans l'intention de conseiller l'abandon de la méthode 

 d'Euclide, qui est probablement moins laborieuse pour l'Arithmétique 

 que celle que nous allons indiquer; mais celle-ci a sur l'ancienne méthode 

 l'avantage d'offrir des relations analytiques moins compliquées , pour 

 exprimer la dépendance qui existe entre le grand diviseur de deux nom- 

 bres, ou de deux polynômes, avec les quotients qui ont été formés dans 

 les divisions successives, ainsi qu'avec les deux nombres donnés, ou les 

 deux polynômes proposés. Ces relations peuvent recevoir des applications 

 utiles dans la théorie des équations et ailleurs. On sait que la méthode du 

 plus grand diviseur est la base des opérations les plus importantes de 

 cette partie de l'Algèbre. Je me réserve de développer plusieurs consé- 

 quences analytiques des nouvelles relations que je signale en ce moment, 

 à moins que je n'en sois dispensé par quelque analyste habile. Je vais ex- 

 poser ici le nouveau procédé dont je viens de faire mention, pour les nom- 

 bres entiers; on verra sans peine qu'il s'applique aux polynômes algébri- 

 ques et entiers. 



» Soient A et a deux entiers quelconques, et A > a: 



on divisera A par a; soit p le quotient et — a, le résidu; 

 on divisera A para,; soit p, le quotient et — a„ le résidu; 

 on divisera A pard a ; soit p,\e quotient et — a 3 le résidu: 



ou continuera ces divisions successives jusqu'à ce que l'on parvienne à 

 une division qui s'effectue sans reste; elle sera représentée par l'équation 

 A=fl n p«, le nombre des divisions étant n -f- i. Pour la régularité des 



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