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Je veux dire que si a n est un entier > i,on devra trouver ou b n < = dz i, 

 ou c» = =b i , etc. Dans le cas de a n == =fc 1 , on aura cette relation 



aV — AP, = =fc i ; 

 si «„ est un entier > i et que b n ' = =±= i, on aura 



a(PQ — Q,) — AP.Q = d= i, 



et ainsi de suite. 



» L'application de ces résultats à la résolution de l'équation 



ax — A.j = 1 



se présente d'elle-même. 



» Quand il s'agira de la recherche du grand diviseur de deux poly- 

 nômes entiers A. et a, ordonnés par rapport aux puissances d'une même 

 lettre x, on procédera sur ces polynômes d'une manière analogue : x ayant 

 le plus haut exposant dans A, on divisera ce polynôme par a; on nommera 

 q le quotient, et l'on pourra aussi dénoter par — <z, le résidu à la manière 

 de M. Sturm; on divisera ensuite le même polynôme A par le premier ré- 

 sidu a,; q, sera le quotient, et le nouveau résidu sera — a„. Les mêmes 

 opérations seront continuées sur A avec les résidus successifs a a , a 3 , etc., 

 jusqu'à ce que l'on parvienne ou à une division exacte par un polynôme 

 résidu contenant x, ou à un résidu dont la variable x aura disparu , et 

 qui en sera complètement indépendant : ce sera donc une combinaison des 

 lettres et des nombres que pouvaient renfermer les coefficients des polynô- 

 mes A et a; et ce résidu indiquera que les polynômes proposés n'ont pas de 

 facteur commun fonction de x. Si au contraire on est arrivé à un résidu a n , 

 fonction de x, qui divise exactement A, on devra s'assurer s'il divise a : il se- 

 rait alors le plus grand diviseur, fonction dé x, de A et de a. Lorsque la di- 

 vision ne se fera pas exactement , on devra diviser derechef a par le résidu 

 b, de la précédente division , et continuer la marche tracée ci-dessus , pour 

 la recherche du grand diviseur des nombres entiers. Dans toutes ces opéra- 

 tions il sera très-utile de préparer les polynômes par la multiplication de 

 facteurs qui ne soient pas fonction de x, afin que tous les termes des 

 quotients se présentent sans diviseurs : à cet égard la nouvelle méthode 

 ne dispense d'aucun des travaux exigés par l'ancienne. Son caractère, ainsi 



