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occupe, de grands avantages à introduire ainsi dans la géométrie le langage 

 de l'algèbre. En cela, du reste, nous suivons l'exemple de M. Poncelet et 

 de la plupart des auteurs auxquels la géométrie est redevable des immenses 

 progrès qu'elle a faits dans ces derniers temps. 



» Grâce aux méthodes élégantes et fécondes dont s'est enrichie la science, 

 les deux théorèmes précédents se présentent d'eux-mêmes comme une 

 conséquence naturelle, nécessaire, presque immédiate d'un théorème de 

 Newton sur les diamètres des courbes. Après les avoir rapportés dans 

 son Aperçu historique , M. Chasles observe que leur existence entraîne 

 celle de deux théorèmes d'algèbre dont la démonstration directe lui semble 

 offrir des difficultés. En effet, si l'on représente par M(x, y) = o l'équa- 

 tion d'une courbe géométrique, les points de contact de cette courbe avec 

 une tangente parallèle à la droite dont l'équation est j= ax , devront sa- 

 tisfaire à la fois aux deux équations 



n . dM , dM 



M = °' dï+ a dï=° : 



donc si la proposition de géométrie plane, énoncée plus haut, est exacte, 

 il faut qu'en éliminant jr, on trouve pour coefficient du second terme de 

 l'équation finale en x, mise sous la forme ordinaire x H -\-kx F ~ l + etc.r=:o , 

 une quantité A indépendante de a. En vertu du théorème relatif aux sur- 

 faces, il faut de même qu'en éliminant y et z entre les trois équations al- 

 gébriques 



„, v dM , dU dM , , dM 



M(x,y,z)=o, —+«^=0, _ + è_ =0 , 



le coefficient du second terme dans l'équation finale en x , soit indépen- 

 dant de a et b. 



» C'est pour obtenir une démonstration directe de ces théorèmes rela- 

 tifs à l'élimination, que j'ai d'abord entrepris mes recherches. Cette dé- 

 monstration , je dois l'avouer, a été loin d'offrir les difficultés que semblait 

 redouter M. Chasles : elle repose en effet sur des principes très-simples et 

 très-connus, mais dont on n'avait peut-être pas assez développé jusqu'ici 

 les conséquences. En poursuivant mon travail , j'ai reconnu ensuite que les 

 mêmes principes conduisent au beau théorème de M. Jacobi (*) exprimé 



(*) Voyez le Mémoire intitulé : Theoremata nova algebraïca (Journal de M. Crelle, 

 tome XIV, page 281). Voir aussi le tome XV, page 3o6. 



