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Donc, si l'on attribue à la variable x un certain accroissement h, tellement 

 choisi que le module de la somme x -f- h reste inférieur à X, on aura 

 encore 



x f {x) 



(,)■: f(x + h)=^r\-^^-d P . 



'■ T J o x — x — h 



D'ailleurs, l'équation (i), différentiée n fois de suite par rapport à x, 

 donnera généralement 



(3) -i— d; f (*) - -i r -M^- dp. 



y i.2...n v ' %% J o (x x) n+ ' 



Si maintenant on développe, dans la formule (2), le rapport 



x — x — h 



en une progression géométrique ordonnée suivant les puissances ascendantes 

 de k, on trouvera 



(4) ^-^=^4 ! ' h 



x — x—h x — x (x—xy {x'—x) 1 —' {x — x)"-'{x—x—h) 



et, eu égard à l'équation (3), la formule (2) donnera 



( ((x + k) = {(x) + h - D,f(*) + p- D'J (*)+... 



(5) '* ,_. 



( ••■ + «. g ...(-o Dr ' fCjf)+l '" 



la valeur de r. étant 



(6) r. = — / - ^ fifo. 



La formule (5), qui fournit la valeur de f (x -f- h), offre pour second 

 membre la série de Taylor avec le reste r„ qui complète cette série arrêtée 

 après le n' eme terme. On sait d'ailleurs que ce reste peut encore être pré- 

 senté sous la forme 



$ r - - ,.,..'■(,-,) f!*-' D " f <* + h - z ) dz - 



