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 et 



04) ^ = -^ ( -^D;[(*+eA)f(*H-9*)]; 



ô désignant un nombre compris entre les limites o, r, et dont la valeur, va- 

 riable avec x, ne doit être substituée dans les formules (i3) et (i4)> qu'a- 

 près que l'on aura effectué les différenciations relatives à x, en considé- 

 rant le produit 0# comme constant. 



» Quoique le second membre de la formule (9) offre une progression 

 géométrique divergente, il arrivera souvent que la série comprise dans le 

 second membre de l'équation (10) commencera par converger très-rapide- 

 ment. Alors on pourra se servir de cette série pour calculer avec une grande 

 approximation le reste r a de la série de Taylor. L'équalion (14) ouïes équa- 

 tions du même genre que l'on pourrait déduire de la formule (12), si la 

 quantité h et la fonction f(z) devenaient imaginaires, serviront à fixer les 

 limites de l'erreur commise dans l'évaluation approximative du reste r„. 



» Si dans les formules (5), (10), (12) et (i4)> on remplace x par zéro, 

 et h par x, on obtiendra d'autres formules dont on pourra souvent faire 

 usage pour déterminer, avec une grande approximation , le reste qui com- 

 plète la série de Maclaurin , et pour fixer les limites des erreurs commises 

 dans l'évaluation de ce même reste. 



§ II. Développement d'une puissance d'un binôme. 



» Lorsque, dans les formules (5), (10), (12) et (14) du § I, on pose 



i{x) = x; 



s désignant une quantité réelle , on obtient des équations qui fournissent,, 

 non-seulement le développement conuu de 



(* + ny 



en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de h, mais encore 

 le reste r n de cette série, développé lui-même en une seconde série quf 

 converge très-rapidement dans ses premiers termes, quand le nombre n 

 devient très-grand, et qui jouit, comme la-première, de cette propriété re- 

 marquable, qu'on peut, en l'arrêtant à un terme quelconque, déterminer 

 facilement une limite de l'erreur commise en vertu de l'omission des- 



