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.2.3. . .m 



n(n — i). . .(« — m) (i -j- x)" 



f .fa v _(-_,-)-"+» + ' I.2.3...TW x» . QxY— 



» Aux applications que nous venons de faire des formules établies dans le 

 § I er , on pourrait en joindre beaucoup d'autres. Nous nous bornerons ici 

 à en indiquer quelques-unes. 



» Si dans les formules (i3), (i/\),(i5), on remplace xparx v' — Sj celles 

 que l'on obtiendra fourniront non-seulement le développement connu de 

 arc tang x, mais encore le reste qui le complète , développé lui-même en 

 une série qui sera très-convergente dans ses premiers termes quand n aura 

 une grande valeur. 



» Si dans l'intégrale 



/ (1 — jc') dx=arcs\nx 



on substitue pour (i — x') sa valeur tirée des formules (9) et (10), 

 on obtiendra non-seulement le développement connu de la fonction 

 arcsin x, mais encore le reste qui le complète, développé lui-même en une 

 série qui sera très-convergente dans ses premiers termes, quand h sera 

 très-grand. Des remarques semblables sont applicables aux intégrales de 

 la forme 



f\i —x')- s dx, 



ainsi qu'à une multitude d'autres, et en particulier à certaines intégrales 

 que l'on rencontre dans la Mécanique céleste , comme nous l'expliquerons 

 plus en détail dans un autre article. 



» En terminant ce Mémoire, nous observerons que les formules (i), (2), 

 (3), (4^ peuvent se déduire, non-seulement des principes établis dans le 

 premier paragraphe , mais aussi de l'équation 



r 00 z~ s dz _ 



/ O I -+-Z ! 



qui subsiste pour des valeurs de s comprises entre les limites o, 1, ou plutôt 

 de la formule 



que l'on lire de l'équation précédente, en y remplaçant z par - , . » 



