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 cette hypothèse n'est plus applicable au cas où le développement renfer- 

 merait à la fois des puissances positives et des puissances négatives de la 

 variable. Il paraissait donc nécessaire d'examiner de nouveau la question, 

 même pour les développements en séries ordonnées suivant les puissances 

 entières des variables. En m'occupant de cet objet, je suis parvenu à éta- 

 blir divers théorèmes généraux relatifs à des développements de forme 

 donnée. Je me bornerai aujourd'hui à énoncer quelques-uns d'entre eux, 

 me réservant d'en développer les démonstrations, et de traiter la même 

 matière avec plus d'étendue, dans les Exercices d'Analyse et de Physique 

 mathématique. 



» Il est facile d'élablir les deux propositions suivantes : 



» i er Théorème. Si une série ordonnée suivant les puissances entières et 

 positives d'une variable réelle ou imaginaire offre une somme nulle, tant 

 qu'elle demeure convergente; chaque terme sera séparément nul. 



» 2 e Théorème. Si une série convergente, et composée de termes pro- 

 portionnels, les uns aux puissances entières positives, les autres aux puis- 

 sances entières négatives d'une variable réelle ou imaginaire, offre une 

 somme nulle, pour un module donné de cette variable, quelle que soit 

 d'ailleurs la valeur de l'argument; chaque terme sera séparément nul. 



» De ces deux propositions on déduit immédiatement les suivantes, dont 

 la première était déjà connue. 



» 3 e Théorème. Une fonction continue d'une variable ne peut être dé- 

 veloppée que d'une seule manière en une série convergente ordonnée sui- 

 vant les puissances ascendantes et entières de cette variable. 



» 4 e Théorème. Une fonction continue de la variable x ne peut être 

 développée que d'une seule manière en une série convergente qui se com- 

 pose de termes proportionnels aux puissances entières positives, nulle et 

 négatives de cette variable, et dont la somme représente constamment cette 

 fonction pour un module donné de la variable, quelle que soit d'ailleurs 

 la valeur de l'argument. 



» Le quatrième théorème cesserait d'être exact, si, pour le module 

 donné de la variable, la fonction développée en une série convergente se 

 trouvait représentée par la somme de cette série , non pour toutes les va- 

 leurs de l'argument, mais seulement pour celles qui seraient comprises 

 entre des limites données. 



» On peut du quatrième théorème déduire un grand nombre de consé- 



