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 quences clignes de remarque. Pour en donner une idée, considérons une 

 fonction rationnelle quelconque de la variable x. Cette fonction ration- 

 nelle pourra être regardée comme formée par l'addition d'une fonction 

 entière, et de diverses fractions simples dont chacune sera proportionnelle 

 à une puissance négative d'un binôme. Or, une telle puissance étant tou- 

 jours développable, ou suivant les puissances ascendantes , ou suivant les 

 puissances descendantes de la variable, suivant que le module de cette 

 variable est inférieur ou supérieur au module du terme constant du bi- 

 nôme, on doit en conclure qu'une fonction rationnelle de la variable x 

 sera, pour un module donné de x, toujours développalile en une série 

 convergente dont les divers termes seront proportionnels, les uns aux 

 puissances entières positives, les autres aux puissances entières négatives 

 de la variable, et dont la somme représentera cette fonction quel que soit 

 l'argument de la variable. Cela posé, concevons que, par un moyen quel- 

 conque, on soit parvenu à déduire immédiatement une semblable série de 

 la fonction rationnelle donnée, sans recourir à la décomposition de la 

 même fonction rationnelle en fractions simples. Cette nouvelle série de- 

 vra, en vertu du quatrième théorème, se confondre avec la première. A 

 l'aide de cette seule observation, on peut facilement établir non-seulement 

 les formules connues qui servent à déterminer les sommes des fonctions 

 semblables des racines d'une équation algébrique donnée , mais encore une 

 multitude d'autres formules, par exemple, celles qu'ont obtenues La- 

 grange, Laplace et Paoli pour le développement en série d'une fonction 

 de la racine la plus rapprochée de zéro, ou de la somme des fonctions 

 semblables de plusieurs racines. On peut même, à l'aide du quatrième 

 théorème , prouver que ces diverses formules sont applicables non-seule- 

 ment aux racines des équations algébriques, mais encore, sous certaines 

 conditions, aux racines des équations transcendantes. 



» Si une équation de la forme 



a -\-a x x-\- a, ± x % -\- . . . . =o 



subsiste, pour tout module de la variable x inférieur à une certaine li- 

 mite, il suffira de réduire x à zéro dans cette équation multipliée par un 



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