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de calcul analogue à celui dont Euler a fait usage pour développer une 

 fonction en série de termes proportionnels aux cosinus des multiples d'un 

 même arc. D'ailleurs le i* théorème, une fois établi, entraîne immédiate- 

 ment le théorème 4> et toutes les conséquences qui dérivent de celui-ci. 

 » Il importe d'observer que, si l'équation (2) était seulement établie pour 

 des valeurs de l'argument/) comprises entre certaines limites, elle n'entraî- 

 nerait plus nécessairement les formules (4). A l'appui de cette observation, 

 nous pouvons citer la formule 



(5) 

 qui subsiste, quand on y pose 



x -f- ^ ar 3 — g x 5 ■+■ 



o, 



x~'+ 3 x~ 3 — g x~ 5 -jr 



pV~- 

 x = e H v 



non pour toutes les valeurs possibles de l'argument/), mais seulement 

 pour des valeurs de p comprises entre les limites 



/» — — ;' p=i- 



» Observons encore qu'à l'aide d'intégrations définies, on peut réduire 

 des séries de diverses formes à des séries ordonnées suivant les puissances 

 entières positives ou négatives de certaines quantités. Ainsi, en particulier, 

 de ce qu'on a pour des valeurs réelles et positives de r et de n, 



f: 



- cos npdp = - e 



r'+p' 

 il résulte qu'une équation de la forme 



(6) f (p) =a -f- #, cos p-\-a x cosip-{-. . ., 



quand elle subsiste, quel que soit l'angle p , entraîne la suivante 



ty l/„°° ~FTp~- cosn P f W d P^ a - + «■ e ~' + a > e ~" +•-'•■ 

 Pareillement, de ce qu'on a, pour des valeurs réelles et positives de r et 



