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mes leçons orales à l'Ecole Polytechnique. Je me bornerai à énoncer le 

 suivant. 



» 5 e Théorème. Supposons qu'une aire plane, renfermée dans le péri- 

 mètre S d'un polygone convexe ou d'une courbe convexe, ait été partagée 

 en rectangles égaux et très-petits par deux systèmes de droites parallèles 

 à deux axes donnés. Soient h', k, les dimensions de chaque rectangle, me- 

 surées parallèlement au premier et au second axe. Soient encore H et K 

 les projections du contour S sur le premier ou sur le second axe. Si l'on 

 prend pour valeur approchée de l'aire A la somme des rectangles qui sont 

 entièrement renfermés dans cette aire, sans être traversés par le contour S, 

 l'erreur commise sera inférieure au double de la somme 



hK -f- kff. 



» Considérons maintenant une aire plane A renfermée entre les périmètres 

 de deux polygones construits de manière que les côtés du second poly- 

 gone, parallèles à ceux du premier, en soient constamment séparés par la 

 distance h. L'aire A, composée de trapèzes dont les hauteurs seront égales 

 à h, aura évidemment pour mesure le produit de la distance h par la 

 demi-somme des périmètres des deux polygones donnés, ou, ce qui re- 

 vient au même, par le périmètre d'un troisième polygone dont chaque 

 côté divisera la distance A en parties égales. Or, il suffira de transformer ce 

 troisième polygone en une courbe plane dont le rayon de courbure surpasse 

 constamment la distance k = \h, pour obtenir la proposition suivante. 



» 6° Théorème. Supposons que le centre d'un cercle, dont le diamètre 

 est 2/t', se meuve, dans un plan donné, sur une courbe fermée, dont le 

 rayon de courbure surpasse constamment le rayon k. L'aire comprise 

 entre les deux enveloppes intérieure et extérieure de l'espace parcouru par 

 le cercle, aura pour mesure le produit 



2/t S , 



S désignant le périmètre de la courbe. 



» Le théorème précédent fournit un moyen facile de trouver la limite 

 de l'erreur commise, quand on substitue à l'aire d'une courbe plane, l'aire 

 d'un polygone inscrit ou circonscrit à cette courbe. 



» 11 peut aussi fournir des relations entre des intégrales définies. Pour 



