( io64 ) 

 comprise entre les deux enveloppes. On aura, en supposant r* <r^, 



( 9 ) A =\r^ n - r *> )dp ' 



D'autre part le périmètre S de l'ellipse sera, comme l'on sait, déterminé 

 par la formule 



(10) S s== a j vi — t*cos*<pd<p. 



Donc, en vertu du 6 e théorème, on aura 



(n) f' (ri— r')dp=4ak f" \J\ — g» cos*<p dtp. 



Ainsi se trouve établie une relation entre deux intégrales définies, dont 

 la première a cela de remarquable que la fonction sous le signe f dé- 

 pend uniquement de deux racines réelles d'une équation du 4 e degré. 



»La formule (ii) peut être aisément vérifiée dans des cas particuliers; 

 et d'abord, si l'on suppose b = a, ou, ce qui revient au même, e =o , les 

 formules (8) et (7) donneront 



ô» = a'k', & = =b ak, r» = (a =b k)\ 



On aura donc alors 



r' — r' u = (a + k)* — (a — A') a = /+ak , 

 et par suite 



comme le donnerait la formule (11). 



» En second lieu, si l'on suppose k très-petit, la formule (8) donnera 

 sensiblement 



cos'p sin 2 /> 



(12) 6' = k' — ±- ; 



COS'^7 sin 2 ^7 ' 



et, en nommant la valeur positive de 8 fournie par l'équation (12), on 



