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 on aura 

 (a) £• uvds = (—iyf*UYds. 



» Démonstration. Pour établir la formule (i), il suffira évidemment 

 d'appliquer n fois de suite l'intégration par parties à la transformation de 

 l'intégrale 



I uvds , 



en faisant porter les différenciations sur le facteur v et sur les dérivées de 

 ce facteur. 



» Corollaire i cr . Si l'on suppose t = o , et si l'on indique à l'aide de la 

 caractéristique 



Dr", 



n intégrations effectuées par rapport à la variable s , et à partir de s = o, 

 la formule (2) pourra s'écrire comme il suit 



(3) f" uv ds= f T>7'u.T>;vds. 



» Corollaire 2 e . Si, dans la formule (a), on pose 



u — (t — s) m , 

 m désignant une quantité positive, on trouvera 



(4) y; ( t -sy vds =f ^j + j {m + n) ^d. 



Dans cette dernière formule, comme dans l'équation (2), la fonction v est 

 assujettie à la condition de s'évanouir avec ses dérivées d'un ordre égal ou 

 inférieur à n, pour s = T. Or cette condition sera évidemment remplie si l'on 

 prend 



et alors la formule (4) donnera 



