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beaucoup d'analogies avec l'arithmétique ordinaire dont les 

 éléments sont les nombres rationnels entiers. On retrouve en 

 général, dans cette arithmétique des complexes, l'équivalent 

 du nombre premier, et la possibilité de décomposer un complexe 

 entier quelconque en facteurs premiers ; on y retrouve aussi les 

 diviseurs communs de 2 complexes entiers donnés ou, plus 

 généralement, de n complexes entiers donnés; on y retrouve 

 encore un algorithme analogue à celui ^''Euclide, permettant 

 de déterminer, par un nombre fini d'opérations rationnelles, 

 le plus grand commun diviseur de plusieurs complexes entiers 

 donnés; on y retrouve une théorie des congruences, l'analogue 

 du théorème de Wilson, l'analogue du théorème de Fermât, etc. 



Mais il y a des cas où cette analogie ne joue pas. 11 y a des 

 systèmes de nombres où l'arithmétique généralisée basée sur 

 la définition ci-dessus du nombre complexe entier présente de 

 curieuses exceptions aux règles générales, des anomalies éton- 

 nantes et inexplicables. Cela tient à la définition même du 

 complexe entier, comme l'a montré pour la première fois 

 M. A. Hurivitz à Zurich, sur l'exemple des quaternions entiers. 



Voici les considérations pouvant conduire à une définition 

 satisfaisante du nombre complexe entier : 



Les nombres entiers sont caractérisés par les propriétés fon- 

 damentales suivantes : 



1° Ils doivent former un domaine d'intégrité, c'est-à-dire 

 qu'ils doivent se reproduire par addition, soustraction et mul- 

 tiplication; en d'autres termes : la somme, la difiérence et le 

 produit de deux nombres entiers doit toujours être de nouveau 

 un nombre entier. 



2° Ce domaine d'intégrité doit contenir « le nombre 1 » et 

 « le nombre zéro » . 



3° Ce domaine d'intégrité doit posséder une base finie; autre- 

 ment dit : il doit être possible de choisir, dans ce domaine 

 d'intégrité, un nombre fini de complexes entiers, disons t^, 

 t„, ..., ^/i, jouissant de la propriété suivante : 



Si m^, Wo, ..., mn désignent des nombres entiers ordinaires 

 quelconques (positifs, nuls ou négatifs), l'expression 



(1) niiti + mM + . . . + »i„*„ 



