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doit pouvoir reproduire, par un choix convenable des nombres 

 entiers w,, absolument tous les éléments du domaine envisagé. 

 Réciproquement, le domaine d'intégrité en question doit se 

 composer de tous les complexes, et uniquement des complexes, 

 qu'on obtient en assignant, dans l'expression (1) ci-dessus, aux 

 nombres ordinaires m^, m,, ... mn, de toutes les manières pos- 

 sibles, des valeurs entières positives, nulles ou négatives. 



Tout ensemble de complexes jouissant des trois propriétés 

 ci-dessus est appelé un domaine holoïde. 



En vertu de cette détinition, tout domaine holoïde contient 

 une intinité d'éléments, parmi lesquels « le nombre 1 » et « le 

 nombre zéro » ; de plus, on peut y effectuer sans restriction 

 l'addition, la soustraction et la multiplication, et cela sans 

 jamais sortir du domaine; enfin, il possède une base tinie. 



Or, pour caractériser les nombres entiers, il faut une qua- 

 trième propriété : 



4° Ils doivent constituer un domaine holoïde qui soit maximal. 



Définition: un domaine holoïde [HJ est dit maximal, lorsqu'il 

 n'existe. pas, dans le corps de nombres envisagé, un autre do- 

 maine holoïde contenant tous les éléments d-e [H], plus encore 

 d'autres éléments non contenus dans [H]. 



La définition du complexe rationnel « entier » est alors la 

 suivante : un complexe rationnel 



est dit entier, s'il fait partie du domaine holoïde maximal en 

 question; le complexe rationnel x sera dit non entier, s'il n'est 

 pas contenu dans ce domaine holoïde maximal. 



Adoptant cette définition et envisageant comme éléments les 

 complexes « entiers » définis de cette façon, on peut construire, 

 dans le domaine des nombres complexes entiers ainsi délimité, 

 toute une arithmétique et toute une théorie des nombres, d'une 

 simplicité analogue à celle de l'arithmétique ordinaire et de la 

 théorie des nombres classique. 



En prenant, comme exemples particuliers, différents sys- 

 tèmes de nombres complexes, l'orateur montre ce qui suit : 



