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massigen Fälle. — Die Menge der fortsetzbaren Potenzreihen 

 und die der nichtfortsetzbaren haben die nämliche Mächtigkeit, 

 die Mächtigkeit des Kontinuums. Der Begriff des Masses oder 

 der der Dimension ist in dem Räume, dessen Elemente die 

 Potenzreihen sind, noch nicht erklärt worden und allenfalls die 

 Gedankengänge der Herren Borei und Fabry stützen sich auf 

 keine explicit festgelegte Erklärung diesel- Begriffe. Diese Ge- 

 dankengänge also, wenn sie auch interessante Einblicke in die 

 Natur der Potenzreihen eröffnen, erweisen es keineswegs streng, 

 dass die Potenzreihen im Allgemeinen nicht fortsetzbar sind. 



Es ist zweckmässig die Frage anders zu wenden. Man kann 

 in dem Räume von unendlich vielen Dimensionen, dessen Punkte 

 die im Einheitskreise konvergierenden Potenzreihen sind, ge- 

 wisse mengen theoretische Begriffe passend erklären und folgen- 

 den Satz beweisen : 



Die Menge der nichtfortsetzbaren Potenzreihen hat nur innere 

 Funkte und ist überall dicht. Die Menge der fortsetzbaren 

 Potenzreihen ist nirgendsivo dicht und perfekt. 



Dieser Satz kann bewiesen werden, denn die vorkommenden 

 Begriffe des inneren Punktes, der überalldichten, der uirgends- 

 wodichten und der perfekten Menge sind mit völliger Bestimmt- 

 heit definiert worden. Alle diese Begriffe beruhen auf dem 

 Begriffe der Umgebung. Die volle Umgebung (so , Si , e^,.") 

 des Punktes a „ , a^ , a^,... heisst die Gesamtheit aller Punkte 

 Mo, u^, u^, ..., die den Ungleichungen 



\ Uq — ao \ s So 1 I «1 — «1 I < e, , . . . I M„ — a„ I ^ £„ , . . . 



genügen, wobei 



e„ ^ , Ihn ye„ - 1 



vorausgesetzt ist. Wenn die Potenzreihe 



in einem grösseren Kreise konvergiert, als der Eiuheitskreis, 

 so gehört der Punkt u^, w^ , u^ , ... zur nächsten Umgebung des 

 Punktes «o » ^n ^2' ... Es sind nur solche Zusammenfassungen 

 der Potenzreihen zu Mengen zulässig, die keine Potenzreihe 

 von ihrer nächsten Umgebung trennen. Endlich heisst der 



