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séries de fonctions orthogonales, j'obtiens une hypothèse plus 

 large et je démontre le théorème suivant : 



Soit rp (x, y) le noyau d'une transformation fonctionnelle T 

 linéaire, involutive l)ornée dans le champ des fonctions de carré 

 intégrable dans l'intervalle (0, ^). Pour toute fonction f (x) de 

 ce champ, telle que 



I. 



f- (x) log-' X dx 



soit finie, la limite 



lim f{y)q}(x, y)dy 



*-^- J 



existe presque paìiout et elle représente la transformée T (f j de ï. 



5. M. le Prof, W.-H. Young (Genève). — Sur l'intégration 

 par rapport à une fonction à variation bornée. 



Dans le rapport que cet auteur a donné lui-même à la Société 

 mathématique suisse, il n'a pas abordé la partie du sujet qui 

 se rapporte à la recherche de la fonction primitive. Récemment 

 il a obtenu la généralisation parfaite des théorèmes de M. Le- 

 besgue et de lui-même sur ce sujet. Les démonstrations sont 

 fort simples. On peut en eftet employer la méthode de M. de la 

 Vallée-Poussin. Les « fonctions majorantes et minorantes » 

 introduites par celui-ci rentrent en effet d'une manière tout à 

 fait naturelle dans le cadre de la théorie de M. Young. 



Désignant par g{x) une fonction croissante, on aura à consi- 

 dérer non seulement des intégrales et des fonctions sommables 

 par rapport à g{x) mais aussi des nombres dérivés par rapport 

 h, g{x) ; la mesure d'un ensemble deviendra la variation &q g'x) 

 par rapport à cet ensemble, et, dans le cas oii cette variation est 

 nulle, on dira que l'ensemble complémentaire existe presque par- 

 tout par rapport à g(x). Pour éviter des répétitions ennuyeuses 

 on peut omettre l'expression « par rapport à g{x) » dans les 

 énoncés. On aura alors cinq théorèmes principaux : 



1° S'il existe une fonction f(x) intermédiaii'e (au sens large) 

 entre les deux nombres dérivés à droite d'une fonction continue 

 F(x), et si f(x) est sommable, ou bien 



