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i) f(x) est infini {-{- oc ou — »c) dans tous les points d'un 

 ensemble ayant la puissance du contenu ou bien 



ii) F(x) - F(a) = f{x) dg{x) . 



En particulier, par conséquent, si F(x) a un nombre dérivé A 

 sommable et fini sauf peut être dans un ensemble dénombrable de 

 points, on aura 



Y'X) - F(rt) = A dg{x) . 



2° L'intégrale indéfinie d'une fonction sommable f(x) a f(x) 

 l^our dérivée presque partout. 



3" Si la fonction F(x), continue ou discontinue, est non-décrois- 

 sante dans un intervalle (a, b), l'un quelconque A de ses nombres 

 dérivés est sommable dans cet intervalle et l'on a 



/: 



Adg[x) = V{b) — F(a) — une fonction positive non décroissante. 



4° Une fonction à variation bornée, continue ou discontinue, a 

 une dérivée presque partout, et les nombres dérivés de la fonction 

 sont sommables. 



5" Une fonction F(x) continue et à variation bornée, dont l'un 

 des nombres dérivés est fini, sauf peut-être dans les points d'un 

 ensemble n'ayant pas la pui'^sance du continu est l'intégrale indé- 

 finie de ce nombre dérivé. 



Le premier de ces théorèmes est moins général que le théo- 

 rème suivant obtenu par M. Young : 



Si r(x) est une fonction semi-continue inférieurement à droite 

 et .'supérieurement à gauche, et si elle possède un nombre dérivé à 

 droite (gauche) f(x) par rapport à g(x), sommable par rapport à 

 g(x) sur l'ensemble S des points où f(x) >• 0, on a les deux possi- 

 bilités : 



1° f(x) = — 2<3 dans les points d'un ensemble de puis- 

 sance c ; 



