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2" F(x) est une semi-intégrale supérieure par rapport à g(x), 

 en effet 



m =X 



F(x) - F {a) = I fix) dg{x) + , 



une fonction positive non-décroissante. Pour obtenir ces généra- 

 lisations il était nécessaire d'élaborer la théorie des nombres 

 dérivés par rapport à g{x) d'une fonction F(a;) qui est au moins 

 d'un côté semi-continue. De telles fonctions ont fait leur appa- 

 ritions à plusieurs reprises dans les recherches de M. Young, 

 et les théorèmes qu'il obtient maintenant montrent de nouveau 

 l'intérêt de ces fonctions. Il obtient entre autres un théorème 

 du genre du théorème de Dini, et qui contient ce dernier comme 

 cas spécial : 



8i Y{x) est semi- continue supérieurement à droite dans un 

 intervalle (a, h), les bornes supérieures des nombres dérivés à 

 gauche sont toutes les mêmes et coïncident avec la borne supérieure 

 du rapport incrémental, les nombres dérivés et le rapport incré- 

 mental étant pris par rapport à x ou g(x), pourvu que i) g(x) 

 soit continue à droite, ou ii) F(x) n'est pas monotone et non- 

 croismntpartoid dans l'intervalle. 



Discussion : M. Fiancherei. 



6. M""* Grâce Chisholm Young (Genève). — Sur les courbes 

 sans tangente. 



Weierstrass a démontré que la fonction continue représentée 

 par la formule de Fournier 



^ b" cos a^xji: 



n=0 



n'a pas de dérivée. La question se pose : est-ce que la courbe 

 y = f{x), ou.f{x) est la fonction de Weierstrass, n'a pas de 

 tangente? Pour ceci il ne suffit pas que la fonction n'ait pas de 

 dérivée, car si elle avait une dérivée à droite et une dérivée à 

 gauche, toutes les deux infinies mais avec des signes opposés, 

 la courbe aurait une tangente singulière, dont le point d'inci- 

 dence serait un point de rebroussement de la courbe. D'après 

 un théorème connu, ceci ne peut avoir lieu que dans un ensemble 



