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3. Ferd. Gonseth (Zürich). — Un théorème relatif à deux 

 ellipsoïdes confocaux. 



Le théorème dont il s'agit est une extension du th. connu de 

 Graves: Si l'on tend un fil passé autour d'une ellipse par une 

 pointe, celle-ci peut décrire une ellipse confocale à la première. 

 L'analogue s'énonce : 



Théorème. On mène de P leeóne tangent à un 

 ellipsoïde; l'intégrale de la courbure moyenne sul- 

 la surface formée du cône jusqu'aux points de con- 

 tact et de la portion d'ellipsoïde qui fait suite est 

 constante si P reste sur un ellipsoïde confocal au 

 premier. La méthode de démonstration est exposée pour le th. de 



Graves. L'intégrale (• ) dp d(p étendue, à un ensemble de 



droites ic cos 99 -|- ^ sin 99 — p = est (Crofton) la mesure 

 de l'ensemble. Les sécantes d'une courbe convexe fermée ont une 

 mesure égale au périmètre de la courbe. — Les mêmes droites 

 étant ux -\- vy -\- 1 =^ la. mesure est aussi égale à la surface 

 non euclidienne de l'ensemble des points de coordonnées cartésiennes, 



(1) X = u \ y =^ V. 

 dans un plan où la conique absolue est ic^ -]- 2/^ = 0. 



Deux ellipses confocales E\ et Et sont transformées par les 

 formules (1) en deux ellipses E'i et E'2. Le théorème de Graves 

 sera exact si l'aire non euclidienne de la portion de plan située à 

 l'extérieur de la courbe fermée, formée par E'2 et une tangente 

 à E'^, est constante lorsque cette tangente varie. On mènera une 

 tangente voisine, et il suffira de démontrer l'égalité (sens non-eu- 

 clidien) de deux triangles infiniment petits. Dans l'espace on dé- 

 finira semblablement la mesui*e d'un ensemble de plans 



X cos a -{- y cos ß -{- z cos y — p = 

 ou bien ux-\-vy-\-w:S-\-l = o 



qui sera égale au volume non euclidien de l'ensemble des 

 points de coord. rect. x =^ -u; y =: v, z = lo; dans un espace 

 dont la quadrique absolue est x^ -\- y^ -\- 2^ = 0. 



En particulier, les plans coupant une surface convexe fermée 

 ont pour mesure l'intégrale de la largeur, c'est-à-dire (d'après une 

 formule de Minkowski), l'intégrale de la courbure moyenne sur 

 cette surface. La démonstration se calque, dès ici, sur la précé- 

 dente. 



