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5. 0. Spiess (Basel). — Ein Satz über raäonale Funktionen. 



Lfe hat die Vermutung ausgesprochen, dass jede analytische 

 Funktion f (x) durch Iteration einer Inflnitesimalsubstitution 

 x-\-g(x) dt erzeugt werden könne und also Bestandteil einer kon- 

 tinuierlichen Transformationsgruppe sei. Es ist indess bisher nicht 

 gelungen, diesen Satz zu beweisen, selbst nicht für die viel engere 

 Klasse der algebraischen Funktionen. Hier soll nun dieLie'sche 

 Vermutung wenigstens für die rationalen Funktionen 

 als richtig erwiesen werden. 



Das Problem lässt sich zurückführen auf die Aufgabe, zu einem 

 gegebenen f(x) eine Funktion ^ zu bestimmen, die der Grleichung 

 genügt 



(1) 0[f(x)] = Q.^(x) 



Die erzeugende Infinitesimalsubstitution ist dann nämlich be- 

 stimmt durch g (x) = : ^\ Nun haben Koenigs, Grévy und 

 Leau seit langem gezeigt, dass in der Umgebung gewisser Fix- 

 punkte von f(xj Lösungen von (1) existieren. Ist speziell f(x) 

 rational, so versagen diese Methoden nur dann, wenn für jeden 

 Fixpunkt ai- 



(2) £fc = /■' (ajcj = e ^ * ''' fhjc = irrational) ist. 



Bloss falls ffxj linear ist, existiert auch dann eine Lösung, nämlich 

 ^ == X. Die L i e 'sehe Behauptung ist also für rationale Funk- 

 tionen erwiesen, wenn gezeigt wird: 



Satz: Eine rationale Funktion, deren sämtliche Fixpunkte 

 die Eigenschaft (2) haben, ist notwendig linear. 



r (x) 

 Beweis: Die Fixpunkte «^ • • • a„ von f(x) = (die wir 



■S(os) ■ 



alle im Endlichen annehmen dürfen), sind Wurzeln der Gleichung^ 

 F=.x'.5 — r=^o. Es folgt sofort 



., _-= f'(a^) = 1 _ 1^ [wegen (2)} 



Die Zahlen oj^- ^ , = „,',^\ sind ebenso wie die £^=1=0, 1, cx3, und 



also gilt nach Lagrange jg_ J. ft>fc 



W iX—ai- 



daraus ergibt sich: -2" Wfc = N^r = i oder 



n n' 



