— 128 — 



kalkül, dessen Bedeutung füi- alle mögliclien Anwendungsg-ebiete 

 immer grösser wird, spielt sedt fast hundert Jahren die aus der 

 Optik und der Mechanik hervorgegangene Hamilton- Jacobische 

 Theorie eine gleich wichtige Rolle. 



Der Versuch, diese Theorie auf Doppelintegrale zu erweitern, 

 ist vor einigen Jahren gemacht worden ^ ; hier will ich skizzieren, 

 wie man das Wesentliche der Hamilton-Jacobischen Resultate mit 

 ganz einfachen Mitteln erhalten kann, wenn man füi' die gesuchte 

 Lösung keine Randwerte von vornherein vorschreibt und daher 

 die spezifischen Schwierigkeiten des Randwertproblems vermeidet. 



Es sei 



(1) 



-/ = I I / i^/e, y, s; z^., Zy) dxdy 



das zu untersuchende Doppelintegral. Wir betrachten eine zwei- 

 parametrige Schar 



T {x,y, z) = II 

 von beliebigen Kurven, die den Raum durchsetzen und die man 

 als ein Bündel von unendlich dünnen Röhren auffassen kann. Auf 

 jeder beliebigen Fläche z ^=- z {x, y) schneidet eine dieser Röhren 

 ein Flächenelement aus, für welches man den Wert des Integrals 

 (1) folgendermassen berechnen kann. 

 Man setze 



^ {^, y) =S (x, y, z {x, y)) 

 T {x, y) ==T{x, y, z{x, y)) 

 und bilde die Funktionaldeterminante 



d(S,T) 



A (x, y, z; z,., Zy) = 

 (3). 



Dann ist nach (1), (2) und (3) 



d (x, y) 



\Sx 'T Ss • Zy Sy -\- Ss ' Zy^. 



\T,-^T,-z, Ty-\-T,-Zy\ 



J = j j l dX dju 

 und der gesuchte Wert von ./ für das ausgeschnittene Flächenelement 

 (4) ^ dÀ dfx. 



* G. Prange. Die Hamilton-J^cobische Theorie für Doppelintegrale. 

 Inaug.-Diss., Göttingen 1915. 



